[論文レビュー] Robust Domain Decomposition Preconditioners for Abstract Symmetric Positive Definite Bilinear Forms

Yalchin Efendiev, Juan Galvis+2 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2011

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、対称正定値な双線形形式に対するスペクトル粗スケールを用いた、加法的重ね合わせ Schwarz 前処理子を構築する頑健な抽象的枠組みを提示する。この枠組みは、メッシュサイズや高対比係数に依存しない条件数の上限を保証する。この手法は、局所固有関数を用いた安定的分解によって頑健性を達成し、楕円型、ストークス型、ブリンクマン問題に対して数値的に検証され、対比比が $10^6$ に達するまで条件数が安定している。

ABSTRACT

An abstract framework for constructing stable decompositions of the spaces corresponding to general symmetric positive definite problems into "local" subspaces and a global "coarse" space is developed. Particular applications of this abstract framework include practically important problems in porous media applications such as: the scalar elliptic (pressure) equation and the stream function formulation of its mixed form, Stokes' and Brinkman's equations. The constant in the corresponding abstract energy estimate is shown to be robust with respect to mesh parameters as well as the contrast, which is defined as the ratio of high and low values of the conductivity (or permeability). The derived stable decomposition allows to construct additive overlapping Schwarz iterative methods with condition numbers uniformly bounded with respect to the contrast and mesh parameters. The coarse spaces are obtained by patching together the eigenfunctions corresponding to the smallest eigenvalues of certain local problems. A detailed analysis of the abstract setting is provided. The proposed decomposition builds on a method of Efendiev and Galvis, Multiscale Model. Simul., 8 (2010), pp. 1461--1483, developed for second order scalar elliptic problems with high contrast. Applications to the finite element discretizations of the second order elliptic problem in Galerkin and mixed formulation, the Stokes equations, and Brinkman's problem are presented. A number of numerical experiments for these problems in two spatial dimensions are provided.

研究の動機と目的

• 高対比係数が対称正定値問題に与える影響により、反復解法の性能が著しく低下するという課題に対処する。
• メッシュサイズおよび対比に依存しない頑健性を保証する、一般の対称正定値双線形形式のための安定的分解フレームワークを開発する。
• 局所スペクトル問題を用いて粗スケールを構築し、高対比媒体において重要な低エネルギーモードを捉える。
• 前処理付きシステムの条件数がメッシュの細分化および対比の変動に依存せずに有界であることを保証する。
• 複雑な不均一透水係数場を有するスカラー楕円型、ストークス型、ブリンクマン問題に対して、この手法を数値的に検証する。

提案手法

• 全区間を重ね合わせる部分集合に分割するためのユニット分割を用いて、グローバル空間を局所的部分空間とグローバル粗スケール空間に抽象的にエネルギー分解する。
• 重なりを有する部分領域上で局所固有値問題を解き、最小の固有値に対応する固有関数を選択することで粗スケールを構築する。
• 重み付き Poincaré 不等式を用いてエネルギー推定を導出し、高対比下でも分解の安定性を保証する。
• この分解を応用して、対比およびメッシュサイズに依存しない条件数を持つ加法的 Schwarz 前処理子を導出する。
• 粗スケールの次元を最小限に抑えるために、修正されたユニット分割を用いた低次元粗スケールを導入する。
• 2次楕円型、混合型、ストークス／ブリンクマン問題の有限要素離散化にこの手法を実装・テストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の対称正定値双線形形式に対して、高対比係数の変動に耐えうる安定的分解を構築できるか？
• RQ2 不均一媒体におけるメッシュサイズおよび対比に依存しない条件数の上限を保証するため、粗スケールをどのように設計できるか？
• RQ3 高対比問題において頑健性を損なわずに、粗スケールの次元をどの程度まで低減できるか？
• RQ4 提案手法は、値の変動が著しい非二値的でランダムな透水係数場に対しても頑健性を維持するか？
• RQ5 この抽象的枠組みは、ストークス方程式やブリンクマン方程式のような混合型および鞍部問題に応用可能か？

主な発見

• 対比比が $10^6$ にまで上昇しても、前処理付きシステムの条件数は約 11–17 に保たれ、頑健性が確認された。
• 対比 $10^4$ の Geometry 3 では、PCG反復回数が23回にとどまり、条件数は11.2であり、粗スケール次元は275であった。
• 値が $10^2$ から $10^6$ の範囲を有するランダム透水係数場を有する Geometry 4 では、条件数が17未満を維持し、PCG反復回数は最大27回であった。
• 低次元化された粗スケール空間 $\widetilde{\mathscr{V}}_H$ の次元は最大397であり、細分化空間次元66,049に比べて非常に低く抑えられており、効率性が確認された。
• 標準的ユニット分割を用いたスペクトル粗スケールの次元は838であったが、修正されたユニット分割を用いた低次元化バージョンでは次元が293にまで低下し、効果的な次元削減が確認された。
• 数値実験により理論的予測が正当化された：本手法は、すべてのテストされた対比レベルおよび問題タイプ（混合型および鞍部問題を含む）において頑健であることが確認された。