[論文レビュー] Robust feedback stabilization of N-level quantum spin systems

Weichao Liang, Nina H. Amini+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Quantum Information and Cryptography参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、連続測定下におけるNレベル量子スピン系のロバストなフィードバック制御戦略を提示する。真の量子状態とその推定状態を記述する結合された確率的マスター方程式を用いてモデル化し、初期状態の不確実性や物理的パラメータの不正確さがあっても、測定演算子の目的固有状態への指数的安定化を満たす十分条件を確立する。また、収束速度を明示的に定量化したフィードバック則を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we consider N-level quantum angular momentum systems interacting with electromagnetic fields undergoing continuous-time measurements. We suppose unawareness of the initial state and physical parameters, entailing the introduction of an additional state representing the estimated quantum state. The evolution of the quantum state and its estimation is described by a coupled stochastic master equation. Here, we study the asymptotic behavior of such a system in presence of a feedback controller. We provide sufficient conditions on the feedback controller and on the estimated parameters that guarantee exponential stabilization of the coupled stochastic system towards an eigenstate of the measurement operator. Furthermore, we estimate the corresponding rate of convergence. We also provide parametrized feedback laws satisfying such conditions. Our results show the robustness of the feedback stabilization strategy considered in [21] in case of imprecise initialization of the estimated state and with respect to the unknown physical parameters.

研究の動機と目的

• 連続時間測定下で、測定演算子の目的固有状態へのNレベル量子スピン系の安定化に取り組む。
• フィードバック制御設計における初期量子状態の不確実性や物理的パラメータの未知性といった実験的欠陥を克服する。
• 量子フィルタリングと制御ループにおける推定誤差やパrameter不一致に対するフィードバックコントローラーのロバスト性を保証する。
• 目的状態への指数的収束を保証する明示的なフィードバック則を提供する。
• スピン1/2系に関する先行研究を、厳密な安定性解析を伴う一般のNレベル量子角運動量系へと拡張する。

提案手法

• 真の量子状態とその推定状態の時間発展を記述する結合された確率的マスター方程式を用いてシステムをモデル化する。
• 現実世界の不確実性を反映させるために、任意の初期条件と推定された物理的パラメータを有する推定状態を導入する。
• 測定プロセスと推定パラメータに依存する、推定状態に基づくフィードバックコントローラーを適用する。
• 確率的リャプノフ技法とサポート定理を用いて、結合系の局所的および大域的安定性を分析する。
• 目的固有状態への指数的収束を保証するためのフィードバック則および推定パラメータに関する十分条件を導出する。
• 導出された安定性条件を満たすパラメータ化されたフィードバック則（例：式(26)および(27)の形）を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期状態と物理的パラメータが未知である場合に、連続測定下でNレベル量子スピン系の指数的安定化が達成可能か？
• RQ2 フィードバックコントローラーの性能は、推定状態とパラメータの精度にどのように依存するか？
• RQ3 フィードバック則および推定パラメータに課される条件は、結合系のグローバル指数的安定性を保証するか？
• RQ4 このようなロバスト制御戦略下で、目的状態への収束速度を定量的に評価できるか？
• RQ5 初期化とパラメータ不一致に対するロバスト性の観点から、提案されたフィードバック則は先行手法と比較してどのように差をつけるか？

主な発見

• フィードバックコントローラーおよび推定パラメータに十分な条件が満たされれば、測定演算子 $J_z$ の目的固有状態 $\boldsymbol{\rho}_{\bar{n}}$ への結合系の指数的安定化が達成される。
• 収束速度はリャプノフ指数 $\nu_{\text{av}}$ を用いて定量的に評価され、実際の測定効率 $\eta, \hat{\eta}$ と結合強度 $M, \hat{M}$ に依存する。$\bar{n} \in \{0,2\}$ の場合、$\nu_{\text{av}} = -\frac{1}{2}\min\{\eta M, \hat{\eta}\hat{M}\} + 2\sqrt{\hat{\eta}\hat{M}}\left|\sqrt{\eta M} - \sqrt{\hat{\eta}\hat{M}}\right|$ であり、$\bar{n} = 1$ の場合、$\nu_{\text{av}} = -\frac{1}{2}\min\{\eta M, \hat{\eta}\hat{M}\}$ である。
• 3レベル系（$N=3$, $J=1$）における数値シミュレーションにより理論的収束速度が確認され、黒線（10サンプルの平均）が半対数プロットで指数的基準曲線（指数 $\nu_{\text{av}}$）と一致する。
• 率 $\nu_{\text{s}} = \nu_{\text{av}} - \frac{1}{2}\min\{\eta M, \hat{\eta}\hat{M}\}$ は一部の状況でより鋭いバインドを提供し、$\bar{n} = 1$ の場合に $\nu_{\text{av}}$ と一致する。
• 初期推定値とパラメータ値の不一致があっても、フィードバックコントローラーは依然として有効であり、初期化およびパラメータ不確実性に対するロバスト性を示す。
• パrameter $\alpha=5$, $\beta=2$ を有する式(26)および(27)の形の明示的フィードバック則が、$\boldsymbol{\rho}_0$ および $\boldsymbol{\rho}_1$ へのシステム安定化に成功しており、シミュレーションにより確認されている。