[論文レビュー] Robust Multivariate Nonparametric Tests via Projection-Averaging

Ilmun Kim, Sivaraman Balakrishnan+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 61被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Cramér-von Mises統計量の射影平均化に基づく、チューニングパラメータが不要で頑健な多変量二標本適合度検定を提案する。この手法は、すべての固定対立仮説に対して一貫性を示し、重い尾を持つ分布において最適なパワーを発揮する。角度距離をユークリッド距離の頑健な代替手段として用い、位置シフト下での平均ベースの検定と同等の高次元パワーを達成し、パーミュテーション検定による理論的保証を備えている。

ABSTRACT

In this work, we generalize the Cramér-von Mises statistic via projection-averaging to obtain a robust test for the multivariate two-sample problem. The proposed test is consistent against all fixed alternatives, robust to heavy-tailed data and minimax rate optimal against a certain class of alternatives. Our test statistic is completely free of tuning parameters and is computationally efficient even in high dimensions. When the dimension tends to infinity, the proposed test is shown to have comparable power to the existing high-dimensional mean tests under certain location models. As a by-product of our approach, we introduce a new metric called the angular distance which can be thought of as a robust alternative to the Euclidean distance. Using the angular distance, we connect the proposed method to the reproducing kernel Hilbert space approach. In addition to the Cramér-von Mises statistic, we demonstrate that the projection-averaging technique can be used to define robust, multivariate tests in many other problems.

研究の動機と目的

• すべての固定対立仮説に対して一貫性を示す、頑健な非パラメトリック多変量二標本検定の開発。
• 従来のエネルギー基盤の検定で一般的に見られるチューニングパラメータやモーメント仮定への依存を排除すること。
• すべての方向への射影平均化を用いて、単変量のCramér-von Mises統計量を高次元に拡張すること。
• 高次元スケーリング下での最小最大最適性および漸近正規性を含む理論的性質の確立。
• ユークリッド距離の代替手段としての角度距離の導入、多変量検定における頑健性の向上。

提案手法

• 射影平均化による多変量Cramér-von Mises距離の提案：$ W_d^2(P_X,P_Y) = \int_{\mathbb{S}^{d-1}} \int_{\mathbb{R}} (F_{\beta^\top X}(t) - F_{\beta^\top Y}(t))^2 dH_\beta(t) d\lambda(\beta) $。
• チューニングパラメータを必要としない $ W_d^2 $ の不偏推定量を用い、高次元における計算効率を実現。
• パーミュテーション検定を適用して臨界値を決定し、$ H_0 $ の下で妥当な第1種の過誤制御を保証。
• ベクトル間の角度を用いて定義される角度距離を、ユークリッド距離の頑健な代替手段として導入。
• 角度距離をカーネルとして用い、再生核ヒルバート空間（RKHS）フレームワークと接続。
• 検定統計量が直交変換に対して不変であり、$ P_X = P_Y $ である場合に限りゼロとなる特徴的性質を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cramér-von Mises統計量は、頑健性と一貫性を保ったまま、多変量設定に一般化可能か？
• RQ2 チューニングパラメータを回避しつつ、高次元二標本検定で高いパワーを維持する方法はあるか？
• RQ3 本手法は、モーメントが定義されない重い尾を持つ分布や汚染された分布下で、エネルギー基盤の検定よりも優れた性能を示すか？
• RQ4 高次元・小標本（HDLSS）設定下での検定の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ5 射影平均化を用いて、他の多変量ノンパラメトリック問題に対しても、頑健で最小最大最適な検定を構築可能か？

主な発見

• 提案手法は、すべての固定対立仮説に対して一貫性を示し、重い尾を持つ分布に対しても頑健である。モーメントが定義されない場合、エネルギー基盤の検定を上回る性能を示す。
• HDLSS設定下では、位置シフトモデル下で高次元平均検定と同等のパワーを達成し、漸近正規性が確立されている。
• 強い相関を示す重い尾を持つ多変量スチューデントt分布を想定したシミュレーションにおいて、$ \upsilon \leq 7 $ の場合に高いパワーを維持し、エネルギー検定やMMD検定を上回る。
• Cramér-von Mises統計量の射影平均化による検定（CvM-Proj）は、$ \upsilon \leq 7 $ の場合、エネルギー検定やMMD検定を上回る優れた性能を示し、$ \upsilon=7 $ でパワーが0.880に達する。
• 角度距離度量は、ユークリッド距離の頑健な代替手段として有効であり、RKHSフレームワークと接続されることが示された。
• パーミュテーションに基づく臨界値手順により、妥当な第1種の過誤制御が保証され、一般のモーメント仮定および高次元漸近的枠組み下で理論的性質が確立された。