[論文レビュー] Robust (rainbow) subdivisions and simplicial cycles

István Tomon|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2022

Commutative Algebra and Its Applications被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、グラフおよび超グラフにおける強力（レインボー）な分割と単体的サイクルの新たな極値境界を確立する。拡張性を持つグラフにおける確率的頂点サンプリングを活用することで、$ n^{1+\beta} $ 棄ての稠密なグラフが、$ t = n^{\Theta(\beta)} $ および $ \ell = \Omega(\frac{1}{\beta}\log\frac{1}{\beta}) $ を満たす $ K_t $ の $ \ell $-分割を含むことを証明する。これは、正しく辺彩色された場合（すなわち、ルビーバ条件を満たす場合）でも成り立ち、2次元およびそれ以上の次元の単体的複体へと拡張される。これらの複体には、三角形分割されたシリンダーおよびモビウスの帯が含まれる。

ABSTRACT

We present several results in extremal graph and hypergraph theory of topological nature. First, we show that if $α>0$ and $\ell=Ω(\frac{1}α\log\frac{1}α)$ is an odd integer, then every graph $G$ with $n$ vertices and at least $n^{1+α}$ edges contains an $\ell$-subdivision of the complete graph $K_t$, where $t=n^{Θ(α)}$. Also, this remains true if in addition the edges of $G$ are properly colored, and one wants to find a rainbow copy of such a subdivision. In the sparser regime, we show that properly edge colored graphs on $n$ vertices with average degree $(\log n)^{2+o(1)}$ contain rainbow cycles, while average degree $(\log n)^{6+o(1)}$ guarantees rainbow subdivisions of $K_t$ for any fixed $t$, thus improving recent results of Janzer and Jiang et al., respectively. Furthermore, we consider certain topological notions of cycles in pure simplicial complexes (uniform hypergraphs). We show that if $G$ is a $2$-dimensional pure simplicial complex ($3$-graph) with $n$ $1$-dimensional and at least $n^{1+α}$ 2-dimensional faces, then $G$ contains a triangulation of the cylinder and the Möbius strip with $O(\frac{1}α\log\frac{1}α)$ vertices. We present generalizations of this for higher dimensional pure simplicial complexes as well. In order to prove these results, we consider certain (properly edge colored) graphs and hypergraphs $G$ with strong expansion. We argue that if one randomly samples the vertices (and colors) of $G$ with not too small probability, then many pairs of vertices are connected by a short path whose vertices (and colors) are from the sampled set, with high probability.

研究の動機と目的

• グラフが $ t $ が $ n $ に従って増加し、$ \ell $ が大きい場合に、$ \ell $-分割を含むために必要な最小の辺密度を特定すること。
• 類似した密度条件のもとで、正しく辺彩色されたグラフにおけるレインボー $ \ell $-分割の存在を証明すること。
• 純粋単体的複体における位相的構造を調査し、$ n^{1+\alpha} $ 個の2次元単体を含む複体が、$ O(\frac{1}{\alpha}\log\frac{1}{\alpha}) $ 個の頂点を持つ三角形分割されたシリンダーおよびモビウスの帯を含むことを示すこと。
• 特に奇数長のサイクルについて、超立方体 $ Q_n $ におけるサイクルおよび分割の極値境界を改善すること。
• 新規なサンプリングに基づく手法を用いて、位相的およびレインボー制約を課した極値グラフ理論の先行結果を統合・強化すること。

提案手法

• 強い拡張性を持つ稠密なグラフおよび超グラフを分析し、確率的頂点サンプリングによって高い確率で接続性を達成できるようにする。
• 頂点および色が非無視可能な確率で選択される確率的サンプリング技法を適用し、サンプルされた部分グラフにおいて多くの頂点対が短い単色またはレインボーパスで接続されることを保証する。
• 従属的確率的選択法を用いて、特に $ t = n^{\Theta(\alpha)} $ を満たす $ \ell $-分割の $ K_t $ を稠密なグラフに埋め込む。
• サイクルを表す3-グラフのための極値超グラフ理論の結果（例：$ \mathrm{ex}(n,\mathcal{C}) = n^{2+O(\log\ell/\ell)} $）を応用し、超立方体における極値数を制限する。
• ロヴァーズの局所補題と数え上げ的議論を用いて、$ \mathrm{ex}(Q_n, C_{2\ell}) $ の改善された上界を導出し、奇数の $ \ell \geq 7 $ に対して $ O(n^{2/3+O(\log\ell/\ell)} \cdot 2^n) $ を示す。
• グラフの $ r $-グラフによる表現理論を用いて、超グラフから超立方体への極値境界の転送を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ t $ が $ n $ の関数として増加し、$ \ell $ が大きい場合に、$ n $ 頂点のグラフが $ K_t $ の $ \ell $-分割を含むために必要な最小の辺密度は何か？
• RQ2 類似した密度閾値のもとで、正しく辺彩色されたグラフにおいても、レインボー $ \ell $-分割の $ K_t $ を保証できるか？
• RQ3 $ n^{1+\alpha} $ 個の2次元単体を含む純粋単体的複体は、頂点数が少ない三角形分割されたシリンダーやモビウスの帯を含む必要があるか？
• RQ4 特に $ \ell \to \infty $ のとき、奇数の $ \ell $ に対して $ \mathrm{ex}(Q_n, C_{2\ell}) $ の最良の上界は何か？
• RQ5 極値結果における $ \epsilon $ 依存性を削除または著しく改善できるか？

主な発見

• 任意の $ \alpha > 0 $ に対して、$ \ell = \Omega(\frac{1}{\alpha}\log\frac{1}{\alpha}) $ が奇数であれば、$ n $ 頂点のグラフが少なくとも $ n^{1+\alpha} $ 棄ての辺を持つとき、$ t \geq n^{c_2\alpha} $（$ c_2 > 0 $）を満たす $ K_t $ の $ \ell $-分割を含む。
• 同じ結果は辺彩色の下でも成り立つ：このようなグラフは、同じ $ t $ を満たすレインボー $ \ell $-分割の $ K_t $ を含む。これは、彩色制約下でも強い性質を示す。
• 平均次数が $ (\log n)^{2+o(1)} $ の正しく辺彩色されたグラフはレインボーサイクルを含み、平均次数が $ (\log n)^{6+o(1)} $ であれば、任意の固定された $ t $ に対してレインボー $ \ell $-分割の $ K_t $ を含む。
• 1次元単体が $ n $ 個で、2次元単体が少なくとも $ n^{1+\alpha} $ 個ある2次元の純粋単体的複体は、$ O(\frac{1}{\alpha}\log\frac{1}{\alpha}) $ 個の頂点を持つシリンダーおよびモビウスの帯の三角形分割を含む。
• 奇数の $ \ell \geq 7 $ に対して、極値数 $ \mathrm{ex}(Q_n, C_{2\ell}) $ は $ O(n^{2/3+O(\log\ell/\ell)} \cdot 2^n) $ で抑えられ、従来の境界を改善する。
• 本稿は、レインボー極値数に関する未解決問題を解決する：$ \mathrm{ex}(n, \text{レインボーサイクル}) = O(n(\log n)^2) $ であり、固定された $ t $ に対して $ \mathrm{ex}(n, \text{レインボー } K_t \text{ の分割}) = O(n(\log n)^{2+o(1)}) $ である。