[論文レビュー] Robust Recovery of Signals From a Union of Subspaces

Yonina C. Eldar, Moshe Mishali|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2008

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 22被引用数 62

ひとこと要約

本稿では、混合 ℓ2/ℓ1 最小化フレームワークを用いて、部分空間の和に位置する信号を回復するロバストで効率的な手法を提案する。ブロック制限等長性（block RIP）に基づく同等条件を確立し、安定かつ一意な回復を保証する。これは、ブロックスパースベクトルや複数測定ベクトル（MMV）などの構造的信号モデルに、圧縮センシングの原則を拡張するものである。

ABSTRACT

Traditional sampling theories consider the problem of reconstructing an unknown signal x from a series of samples. A prevalent assumption which often guarantees a unique signal consistent with the given measurements is that x lies in a known subspace. Recently, there has been growing interest in nonlinear but structured signal models, in which x is assumed to lie in a union of subspaces. An example is the case in which x is a finite length vector that is sparse in a given basis. In this paper we develop a general framework for robust and efficient recovery of such signals from a given set of samples. More specifically, we treat the case in which x lies in a finite union of finite dimensional spaces and the samples are modelled as inner products with an arbitrary set of sampling functions. We first develop conditions under which unique and stable recovery of x is possible, albeit with algorithms that have combinatorial complexity. To derive an efficient and robust recovery algorithm, we then show that our problem can be formulated as that of recovering a block sparse vector, namely a vector whose non-zero elements appear in fixed blocks. To solve this problem, we suggest minimizing a mixed ℓ2/ℓ1 norm subject to the measurement equations. We then develop equivalence conditions under which the proposed convex algorithm is guaranteed to recover the original signal. These results rely on the notion of block restricted isometry property (RIP), which is a generalization of the standard RIP used extensively in the context of compressed sensing. A special case of the proposed framework is that of recovering multiple measurement vectors (MMV) that share a joint sparsity pattern. Specializing our results to this context leads to new MMV recovery methods as well as equivalence conditions under which the entire set can be determined efficiently.

研究の動機と目的

• 従来の単一部分空間の仮定を越える構造的モデルとして、有限次元部分空間の和に位置する信号の復元という課題に対処すること。
• 特に、サンプルが任意のサンプリング関数との内積として与えられる状況において、このような和に属する信号のロバストで効率的な回復アルゴリズムを開発すること。
• 凸最適化を用いた安定かつ一意な信号回復を保証するための十分条件を、ブロック制限等長性（block RIP）に基づいて確立すること。
• ブロックスパース信号および共通のスパースパターンを持つ複数測定ベクトル（MMV）を扱えるように、圧縮センシング理論を一般化すること。
• 提案された ℓ2/ℓ1 最小化アプローチが元の信号を正確に回復するための同等条件を提供すること。

提案手法

• 非ゼロ要素が事前に定義されたブロックに限定されるブロックスパースベクトルの回復問題として信号回復問題を定式化する。
• ブロックスパース性を促進し、ロバスト性を向上させるために、測定制約のもとで混合 ℓ2/ℓ1 ノルムを最小化する手法を提案する。
• 回復の安定性と一意性を分析するため、標準的なRIPを一般化したブロック制限等長性（block RIP）を導入する。
• ノイズが存在する状況においても、凸最適化問題が元の信号を一意に回復できる十分条件を導出する。
• 複数の信号が同じスパースパターンを持つ複数測定ベクトル（MMV）問題にこのフレームワークを適用する。
• ブロックRIP定数が十分に小さい場合、提案手法が正確な回復を達成することを示し、既知の圧縮センシングの結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形測定値から、部分空間の和に位置する信号が、どのような条件下で一意かつ安定に回復可能となるか？
• RQ2 非ゼロ係数が固定されたブロックに現れる場合に、信号のブロック構造を活用できるように、回復問題をどのように再定式化できるか？
• RQ3 ブロック制限等長性（block RIP）は、ブロックスパース回復における凸緩和法の成功を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 提案された ℓ2/ℓ1 最小化フレームワークは、共同スパース性を持つ複数測定ベクトル（MMV）問題に効率的に適用可能か？
• RQ5 凸最適化アプローチが、ノイズのある測定値に対しても元の信号を正確に回復するための同等条件は何か？

主な発見

• 提案された混合 ℓ2/ℓ1 最小化手法は、ブロック制限等長性（block RIP）が成り立ち、かつその定数が十分に小さい場合、部分空間の和に位置する信号を安定かつロバストに回復することが保証される。
• ブロックRIP定数が 2k 階のものよりも √2 − 1 未満であれば、正確な回復が達成され、これは標準的な圧縮センシングにおける既知の境界を拡張するものである（k はブロック数）。
• このフレームワークは、ブロックスパースベクトルや共通のスパースパターンを持つ複数測定ベクトル（MMV）を含む、構造的信号モデルへの標準的圧縮センシングの一般化を実現する。
• MMVの場合、同じブロックRIP条件のもとで、同じサポートを持つすべてのベクトルを効率的に回復できる。
• 導出された同等条件により、有界なノイズが存在する状況でも、凸緩和が元の信号を正確に回復することが保証される。
• 組み合わせ的回復性能を多項式時間の複雑度で達成し、部分空間上でのブルートフォース探索の非効率性を克服する。