[논문 리뷰] Robust utility maximization in markets with transaction costs

Huy N. Chau, Miklós Rásonyi|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비례 거래비용이 존재하는 연속시간 금융시장에서 모델 불확실성 하에 강건한 최적 투자 전략의 존재성을 확립한다. 고정된 확률 공간 위에서 파arameter화된 확률과정의 가족으로 문제를 공식화하고, 유한 변동 과정에서의 컴팩턴스 및 오르리치 공간 기법을 활용하여, 양의 실수선과 전체 실수선에서 정의된 유틸리티 함수 모두에 대해 최적 전략의 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

We consider a continuous-time market with proportional transaction costs. Under appropriate assumptions we prove the existence of optimal strategies for investors who maximize their worst-case utility over a class of possible models. We consider utility functions defined either on the positive axis or on the whole real line.

연구 동기 및 목표

• 연속시간 금융시장에서 비례 거래비용이 존재하는 상황에서 강건 유틸리티 최적화에 대한 존재성 결과의 부족을 해결하기 위해.
• 기존의 이중 방법과 코믈로스 유형의 추론이 강건 설정에서 제한을 받는 점을 극복하기 위해, 직접적으로 원 문제에 접근함으로써.
• 기본 확률 공간과 가측 선택 정리의 필요성을 피하기 위해, 고정된 필터링된 공간 위에서 파arameter화된 과정의 가족을 사용하는 프레임워크를 개발하기 위해.
• 유틸리티 함수가 양의 실수선 또는 전체 실수선에서 정의될 경우 최적 전략의 존재성을 확립하기 위해.
• 확률 측도 간의 비동등성과 강건 설정에서 이중 문제의 해가 존재하지 않는 점을 직접 원 문제 분석을 통해 다루기 위해.

제안 방법

• 비례 거래비용이 존재하는 시장 모델을 공식화하고, 전략을 적절한 위상이 부여된 유한 변동 과정으로 표현한다.
• 측도의 가족이 아닌, 고정된 필터링된 확률 공간 위에서 파arameter화된 확률과정의 가족을 사용함으로써, 영집합 및 필터링 완비와 관련된 기술적 과제를 단순화한다.
• 두 가지 코믈로스 유형의 추론을 적용한다: 하나는 유한 변동 과정 공간에서 후보 최적 전략을 추출하기 위한 것이고, 다른 하나는 오르리치 공간 설정에서 최적 자산가치 과정의 초마팅게일 성질을 확인하기 위한 것이다.
• 논문 [13]의 보조정리를 활용하여 후보 최적 전략의 초마팅게일 성질을 검증하며, 이는 오르리치 노름에서의 유계성에 기반한다.
• 전략 수렴 구조에 대한 유틸리티 함수의 순차적 상부 하우스도르프 연속성을 확립하여, 컴팩턴스 추론이 가능하도록 한다.
• 거래비용이 존재하는 상황에서는 종료 시점의 포트폴리오 가치의 유계성이 전략의 유계성과 연결됨을 이용한다 — 이는 마찰이 없는 시장과는 다름.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비례 거래비용이 존재하는 연속시간 금융시장에서 강건 유틸리티 최적화에 대해 최적 투자 전략이 존재하는가?
• RQ2 모델 불확실성이 존재할 경우, 이중 문제의 해나 $L^0$ 공간에서의 코믈로스 추론에 의존하지 않고 존재성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 기본 확률 공간과 가측 선택 정리를 피하는 강건 최적화 프레임워크를 구축할 수 있는가?
• RQ4 이중 문제가 해를 갖지 못하는 상황에서 원 문제에서 어떻게 컴팩턴스를 달성할 수 있는가?
• RQ5 유한 변동 과정의 구조가 거래비용 하에서 전략의 유계성과 수렴성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 비례 거래비용이 존재하는 연속시간 금융시장에서 강건 유틸리티 최적화에 대해 최적 전략의 존재성을 증명한다.
• 이 존재성 결과는 양의 실수선과 전체 실수선에서 정의된 유틸리티 함수 모두에 대해 성립한다.
• 기본 확률 공간과 가측 선택 정리를 피하기 위해, 고정된 필터링된 확률 공간과 파arameter화된 과정의 가족을 사용하는 방식을 통해 접근한다.
• 두 가지 코믈로스 유형의 추론을 통해 컴팩턴스를 달성한다: 하나는 유한 변동 과정에서, 다른 하나는 오르리치 공간에서이며, 이는 전략과 자산가치 과정의 수렴을 가능하게 한다.
• 최적 자산가치 과정의 초마팅게일 성질은 [13]의 보조정리를 활용하여 오르리치 노름에서의 유계성에 기반해 검증된다.
• 이 방법은 비동등한 측도에 대해 강건하며, 광범위한 연속시간 모델에 적용 가능하며, 이 설정에서 첫 번째이자 그러한 존재성 결과를 제시한다.