[論文レビュー] Rotationally Invariant Singular Solutions to the Kapustin-Witten Equations

Siqi He|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、4次元ユークリッド空間および $S^3 \times (0,\infty)$ 上で、クaternion的アンザッツを用いて回転対称な特異解を構成し、非線形常微分方程式系を導出する。これらの常微分方程式を明示的に解き、減衰する有理関数的解（虚部に特異性を有する）を得て、インスタントン数を確立し、特定の解がナーム極境界条件を満たすことを示し、ウィッテンのジョーンズ多項式不変量に関する予想に関連するモデル解を提供する。

ABSTRACT

In the present paper, we find a system of non-linear ODEs that gives rotationally invariant solutions to the Kapustin-Witten equations in 4-dimensional Euclidean space. We explicitly solve these ODEs in some special cases and find decaying rational solutions, which provide solutions to the Kapustin-Witten equations. The imaginary parts of the solutions are singular. By rescaling, we find some limit behavior for these singular solutions. In addition, for any integer $k$, we can construct a 5$|k|$ dimensional family of $C^1$ solutions to the Kapustin-Witten equations on Euclidean space, again with singular imaginary parts. Moreover, we find solutions to the Kapustin-Witten equations over $S^3 imes (0,+\infty)$ with the Nahm pole boundary condition.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな4次元多様体上で、特異境界条件を伴うKapustin-Witten方程式の明示的特異解を構成すること。
• 特異解がウィッテンのゲージ理論的アプローチによるジョーンズ多項式およびクラスカル・ホモロジーの役割を明らかにすること。
• Kapustin-Witten方程式の解において、ウーレンベック型のバブル現象または非コンパクト性が生じるかどうかを調査すること。
• 発見された特異解と $S^3 \times (0,\infty)$ 上のナーム極境界条件との関係を確立すること。
• ADHM構成を一般化し、インスタントン数 $k$ を持つ $C^1$ 解の $5|k|$ 次元族を生成すること。

提案手法

• $\mathbb{R}^4$ 上でのゲージ場およびヒッグス場のパrametrizationにクォータニオンを用い、$\mathbb{R}^4$ を $\mathbb{H}$ と同一視すること。
• 回転対称性の下でKapustin-Witten方程式から非線形常微分方程式系を導出すること。
• 第一積分を導入し、常微分方程式系を簡略化し、$|x|$ の有理関数として解を明示的に求めること。
• 共形変換を用いて $\mathbb{R}^4$ 上の解を $S^3 \times (0,\infty)$ 上の解に写像し、ナーム極の振るまいを明らかにすること。
• $\mathrm{Im}(\bar{x}dx)$ 形式を用いて、$S^3$ 上の正規直交余枠を介してゲージ場およびヒッグス場を表現し、境界条件の分析を可能にすること。
• ADHM構成を一般化し、整数 $k$ に対して、特異な虚部を有する $5|k|$ 次元族の解を生成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kapustin-Witten方程式に対して、$\mathbb{R}^4$ 上で明示的かつ回転対称な特異解を構成できるか？
• RQ2 共形変換によって $\mathbb{R}^4$ 上の解を $S^3 \times (0,\infty)$ 上に写像したとき、これらの解はナーム極境界条件を満たすか？
• RQ3 構成された解のインスタントン数は何か？ また、より高いインスタントン数に一般化可能か？
• RQ4 Kapustin-Witten方程式の解において、ウーレンベックのバブル現象が生じる可能性はあり、これらの解はその現象をモデル化できるか？
• RQ5 各整数 $k$ に対して、特異な虚部を有する $C^1$ 解の $5|k|$ 次元族が存在するか？

主な発見

• 本論文は、$\mathbb{R}^4$ 上で減衰する有理関数的プロファイルと特異な虚部を有する回転対称な解を明示的に構成した。
• 任意の実数 $C \neq 0$ に対して、解は無限遠点でゼロに減衰し、インスタントン数はゼロである。$C \to \infty$ のとき、$|F_A|$ は原点にディラック測度に収束する。
• $|x| = 1/\sqrt{C}$ における $\phi$ の極特異性は、$SU(2)$ ゲージ変換によって除去できない。
• 各整数 $k$ に対して、特異な虚部を有する $C^1$ 解の $5|k|$ 次元族を構成した。これにはインスタントン数 $\pm1$ の解が含まれる。
• $S^3 \times (0,\infty)$ 上で、2つの解がナーム極境界条件を満たし、それぞれインスタントン数 $+\frac{1}{2}$ および $-\frac{1}{2}$ を有する。
• 共形変換により、$\mathbb{R}^4$ 上の特異解が $S^3 \times (0,\infty)$ 上の解に写像され、$y \to 0^+$ の極限でナーム極の振るまいが確認された。