[論文レビュー] Rough differential equations on Besov spaces

David J. Prömel, Mathias Trabs|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、H"older空間から一般のBesov空間へ、パラコントロールド分布のアプローチを拡張し、これらの広い関数空間に属する信号に対する粗い確率微分方程式（RDEs）の解法を可能にした。主な貢献は、H"olderおよびp-変動設定を統合する統一されたフレームワークを提供することであり、Besov位相における確率的関数およびガウス過程によって駆動されるパスワイズな確率微分方程式の解法を可能にする。

ABSTRACT

Rough differential equations are solved for signals in general Besov spaces unifying in particular the known results in Holder and p-variation topology. To this end the paracontrolled distribution approach, which has been introduced by Gubinelli, Imkeller and Perkowski [18] to analyze singular stochastic PDEs, is extended from Holder to Besov spaces. As an application we solve stochastic differential equations driven by random functions in Besov spaces and Gaussian processes in a pathwise sense.

研究の動機と目的

• H"older空間から一般のBesov空間へのパラコントロールド分布法の一般化。
• 異なる正則性領域における粗い確率微分方程式の統一的解法理論の確立。
• Besov空間における確率的関数およびガウス過程によって駆動される確率微分方程式のパスワイズ解法。
• 特異なSPDE技術の適用範囲をより広い不規則な信号のクラスへ拡張すること。

提案手法

• 特異な確率的偏微分方程式に向け開発されたパラコントロールド分布フレームワークを、一般のBesov空間の関数へ適応する。
• パラプロダクトおよびパラディファレンシャル計算を用いて、不規則な信号内の非線形相互作用を分解・制御する。
• 信号を正則部と特異部に分解するパラコントロールド構造に基づき、RDEの解の定義を提示する。
• 解の存在および一意性を保証するため、Besovノルムにおける事前推定を確立する。
• ガウス過程およびBesov空間内の確率的関数にこの手法を適用し、パスワイズ解を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラコントロールド分布法は、H"older空間から一般のBesov空間へ拡張可能であり、粗い確率微分方程式を解くために利用可能か？
• RQ2 Besov空間におけるRDEの解法理論は、H"olderおよびp-変動設定における既存の結果をどのように統合するか？
• RQ3 Besov空間における駆動信号にどのような条件を課すと、RDEのパスワイズ解の存在および一意性が保証されるか？
• RQ4 ガウス過程またはBesov空間内の確率的関数によって駆動される確率微分方程式は、このフレームワークを用いてパスワイズに解けるか？

主な発見

• パラコントロールド分布法は、H"older空間から一般のBesov空間へ成功裏に拡張され、粗い確率微分方程式のより広い解法理論が可能になった。
• フレームワークは、H"olderおよびp-変動トポロジーにおける既存の結果を統合し、共通の解析的基盤を提供する。
• 確率的関数およびガウス過程によって駆動される確率微分方程式のパスワイズ解が確立された。
• 駆動信号の適切なBesovノルム条件のもとで、解の存在および一意性が保証された。