[論文レビュー] Rough volatility, path-dependent PDEs and weak rates of convergence

Ofelia Bonesini, Antoine Jacquier+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2023

Stochastic processes and financial applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、roughボラティリティモデルにおける条件付き期待値が、関数的 Itô 公式を用いて導かれたパス依存型 PDE の一意的な古典解であることが確立される。Hurst パrameter $ H \in (0, \frac{1}{2}) $ を持つ確率的ボラティリティ方程式において、2次関数型テスト関数に対して収束速度のオーダー 1 を、滑らか関数に対しては $ H + \frac{1}{2} $ を得る。これは、roughボラティリティにおける数値的プライシングの主要な課題を解決する。

ABSTRACT

In the setting of stochastic Volterra equations, and in particular rough volatility models, we show that conditional expectations are the unique classical solutions to path-dependent PDEs. The latter arise from the functional Itô formula developed by [Viens, F., & Zhang, J. (2019). A martingale approach for fractional Brownian motions and related path dependent PDEs. Ann. Appl. Probab.]. We then leverage these tools to study weak rates of convergence for discretised stochastic integrals of smooth functions of a Riemann-Liouville fractional Brownian motion with Hurst parameter $H \in (0,\frac{1}{2})$. These integrals approximate log-stock prices in rough volatility models. We obtain the optimal weak error rates of order $1$ if the test function is quadratic and of order $(3H+\frac{1}{2})\wedge1$ if the test function is five times differentiable; in particular these conditions are independent of the value of $H$.

研究の動機と目的

• roughボラティリティモデルにおける条件付き期待値とパス依存型 PDE の古典解との間の厳密な関係を確立すること。
• Hurst パrameter $ H \in (0, \frac{1}{2}) $ を持つ Riemann–Liouville 分数次元ブラウン運動の離散化されたストリート積分の弱収束速度を分析すること。
• 特に強収束が著しく遅いために困難である、roughボラティリティモデルの数値スキームにおける弱収束速度の未解決問題を解決すること。
• Hurst パrameter $ H $ に明示的な依存関係を示す、roughボラティリティ下でのオプションプライシングへの定量的弱誤差バウンドを提供すること。

提案手法

• 有限の二次変動を持つ過程に対して関数的 Itô 公式を適用し、条件付き期待値のパス依存型 PDE 表記を導出する。
• 分数次元ブラウン運動を用いた確率的ボラティリティ方程式（SVEs）に対して関数的 Itô 微積分を適用し、非マルコフ構造を持つ PDE と関連付ける。
• Malliavin 微積分とウィener クラウス展開を用いて、弱誤差を Malliavin 微分項とクラウス係数に分解する。
• 反復カーネルとクラウス展開係数に対する明示的評価を用いて、弱収束解析における誤差項を制御する。
• BDG 型不等式と Riemann–Liouville 分数次元ブラウン運動の共分散構造の推定を用いて収束速度を導出する。
• Euler スキームのドリフト項と拡散項に起因する誤差成分を明確に区別し、詳細な漸近的解析を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hurst パrameter $ H \in (0, \frac{1}{2}) $ を持つ roughボラティリティモデルにおけるロジプライス過程の Euler スキームの弱収束速度は何か？
• RQ2 roughボラティリティモデルにおける条件付き期待値は、パス依存型 PDE の古典解として特徴付けられるか？
• RQ3 ペイオフ関数の正則性と Hurst パrameter $ H $ が同時に弱誤差速度に与える影響は何か？
• RQ4 弱誤差がテスト関数 $ \phi $ の滑らかさおよびボラティリティ関数 $ \psi $ にどのように依存するか、正確に特定できるか？

主な発見

• 2次関数型テスト関数に対して、弱収束速度はオーダー 1 であり、強収束速度の $ H $ よりも著しく高い。
• 滑らか関数に対しては弱収束速度が $ H + \frac{1}{2} $ であり、強収束速度を上回り、与えられた仮定のもとで最適である。
• roughボラティリティモデルにおける条件付き期待値は、関数的 Itô 公式から導かれたパス依存型 PDE の一意的な古典解である。
• 弱誤差の分解が Malliavin 微分項とクラウス係数に依存しており、それぞれが明示的カーネル評価によってバウンドされている。
• 収束速度 $ H + \frac{1}{2} $ は、$ \phi \in \mathcal{C}_p^{2+\lceil \frac{1}{2H} \rceil} $ を含む、$ \phi $ および $ \psi $ のやや弱い正則性条件のもとで確立される。
• 結果として、弱誤差が強収束速度とは独立して減少することから、$ H $ が小さい場合でもモンテカルロシミュレーションの使用が正当化される。