[論文レビュー] Rounding Lasserre SDPs using column selection and spectrum-based approximation schemes for graph partitioning and Quadratic IPs

Venkatesan Guruswami, Ali Kemal Sinop|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 48被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、グラフ分割および二次整数計画問題におけるより良い近似比を達成するために、列選択とスペクトル近似を用いたラッサール階層のSDPに対する新規な丸め手法を提示する。時間計算量 $n^{O(r/\varepsilon^2)}$ において、$(1+\varepsilon)/\min\{1,\lambda_r\}$ の近似比を達成する。ここで $\lambda_r$ は正規化ラプラシアンの $r$ 番目に小さい固有値である。最小二部分割、スパースカット、一意ゲームといった問題において、現在の技術水準を著しく超える結果を得ている。

ABSTRACT

We present an approximation scheme for minimizing certain Quadratic Integer Programming problems with positive semidefinite objective functions and global linear constraints. This framework includes well known graph problems such as Minimum graph bisection, Edge expansion, Sparsest Cut, and Small Set expansion, as well as the Unique Games problem. These problems are notorious for the existence of huge gaps between the known algorithmic results and NP-hardness results. Our algorithm is based on rounding semidefinite programs from the Lasserre hierarchy, and the analysis uses bounds for low-rank approximations of a matrix in Frobenius norm using columns of the matrix. For all the above graph problems, we give an algorithm running in time $n^{O(r/ε^2)}$ with approximation ratio $\frac{1+ε}{\min\{1,λ_r\}}$, where $λ_r$ is the $r$'th smallest eigenvalue of the normalized graph Laplacian $\mathcal{L}$. In the case of graph bisection and small set expansion, the number of vertices in the cut is within lower-order terms of the stipulated bound. Our results imply $(1+O(ε))$ factor approximation in time $n^{O(r^\ast/ε^2)}$ where is the number of eigenvalues of $\mathcal{L}$ smaller than $1-ε$ (for variants of sparsest cut, $λ_{r^\ast} \ge \mathrm{OPT}/ε$ also suffices, and as $\mathrm{OPT}$ is usually $o(1)$ on interesting instances of these problems, this requirement on $r^\ast$ is typically weaker). For Unique Games, we give a factor $(1+\frac{2+ε}{λ_r})$ approximation for minimizing the number of unsatisfied constraints in $n^{O(r/ε)}$ time, improving upon an earlier bound for solving Unique Games on expanders. We also give an algorithm for independent sets in graphs that performs well when the Laplacian does not have too many eigenvalues bigger than $1+o(1)$.

研究の動機と目的

• 最小二部分割、スパースカット、小集合拡張といった基本的グラフ分割問題における、既知の近似アルゴリズムとNP困難性下界との間の継続的ギャップを埋めること。
• 正定値目的関数とグローバル線形制約を持つ二次整数計画問題を近似する一般枠組みの開発。
• ラッサール階層にスペクトル的および列ベースの丸めを組み合わせることで、PTASが知られていない問題に対しても強い近似保証を得られることの実証。
• 平面的または有界木幅を持つグラフなど、固有値がゆっくりと成長するグラフが良いアルゴリズムを許容することを示すことにより、これらの問題における強い不近似性結果を証明することが難しい理論的根拠の提示。

提案手法

• 変数間の高階相関を捉えるためにラッサール階層の半定値緩和を活用し、$r$ 階層目ではよりタイトな緩和が得られる。
• SDP解行列の低ランク近似における寄与に基づいて代表的な変数を選択する、新規な列選択に基づく丸め戦略を適用。
• 列による低ランク行列近似のフロベニウスノルムに対するスペクトル境界を用いて、丸め誤差を制御し、特に正規化ラプラシアンの $r$ 番目に小さい固有値 $\lambda_r$ と関連付ける。
• チェビシェフの不等式およびマコフの不等式を用いた確率的解析により、丸められた解が目的関数値および制約条件からどれほど逸脱するかを制限。
• 固定された合計重量を持つカットなどのパッキング制約を扱うフレームワークを導入し、質量集中を保証するため、解のランダム制限下での分散を分析。
• 実装のための高速ソルバー [GS12a] を用いることで、実行時間を $2^{O(r/\varepsilon)}n^{O(1)}$ に短縮。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なSDPが失敗する状況下でも、ラッサール階層を効果的に丸めることで、最小二部分割やスパースカットといったグラフ分割問題に対して $(1+\varepsilon)$-近似を得られるか。
• RQ2 正規化ラプラシアンの $r$ 番目に小さい固有値 $\lambda_r$ が、SDPに基づくアルゴリズムの近似比を決定づける役割を果たすか。
• RQ3 小集合拡張や一意ゲームといった問題において、強力な不近似性結果（例：APX困難性）が長らく得られなかった理由は何か。スペクトル的性質がその理由を説明できるか。
• RQ4 列選択によるスペクトル近似技術を用いて、高階ラッサールSDPのための効率的な丸めスキームを設計できるか。
• RQ5 正規化ラプラシアンにおいて $1-\varepsilon$ より小さい固有値の個数が、アルゴリズムの実行時間および近似品質にどのように影響するか。

主な発見

• 正定値目的関数と二次整数計画問題に対して、$\frac{1+\varepsilon}{\min\{1,\lambda_r\}}$ の近似比を達成する。ここで $\lambda_r$ は正規化グラフラプラシアンの $r$ 番目に小さい固有値である。
• グラフ二部分割および小集合拡張において、カットのサイズは必要な境界の下位項の範囲内に収まり、構造的妥当性が保証される。
• 実行時間は $\lambda_r \geq \Omega(\varepsilon)$ の場合に $n^{O(r/\varepsilon^2)}$ であり、高速ソルバーを用いることで $2^{O(r/\varepsilon)}n^{O(1)}$ に改善される。
• 一意ゲームに対しては、$n^{O(r/\varepsilon)}$ 時間で $\left(1 + \frac{2+\varepsilon}{\lambda_r}\right)$-近似が得られ、特に拡張器において従来の境界を改善する。
• ラプラシアンに $1+o(1)$ よりも小さい固有値が少ない場合、独立集合に対しても $(1+\varepsilon)$-近似が得られ、スペクトル的に正則なグラフにおいても安定性が示される。
• 解析により、不近似性結果が証明しにくいのは、還元が固有値がゆっくり成長するグラフ（例：平面的または有界木幅）を生成しなければならないためであり、このようなスペクトル的性質を持つグラフは構造的単純さのため、しばしば良いアルゴリズムを許容する。