[論文レビュー] Ruin probabilities with investments: smoothness, IDE and ODE, asymptotic behavior

Yuri Kabanov, Nikita Pukhlyakov|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2020

Probability and Risk Models参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、幾何 Browm運動で駆動されるリスク資産への投資を組み込んだ生命保険と非生命保険のリスクを併せ持つ保険会社の破産確率を研究する。初期資本に関する破産確率の滑らかさを確立し、指数分布に従うジャンプに対して4階の常微分方程式（ODE）を導出し、$Ψ(u) \sim C u^{-\beta}$ の漸近的減衰を証明する。ここで $β = 2a/\sigma^2 - 1$ であり、単一ジャンプ型モデルからの既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

The study deals with the ruin problem when an insurance company having two business branches, life insurance and non-life insurance, invests its reserve into a risky asset with the price dynamics given by a geometric Brownian motion. We prove a result on smoothness of the ruin probability as a function of the initial capital and obtain for it an integro-differential equation understood in the classical sense. For the case of exponentially distributed jumps we show that the survival probability is a solution of an ordinary differential equation of the 4th order. Asymptotic analysis of the latter leads to the conclusion that the ruin probability decays to zero in the same way as in the already studied cases of models with one-side jumps.

研究の動機と目的

• 保険会社が生命保険と非生命保険の両方の業務を併せ持ち、リスク資産に投資する集団リスクモデルにおける破産確率を分析すること。
• 一般のジャンプ分布のもとで、初期資本に関する破産確率の滑らかさを確立すること。
• ジャンプサイズが指数分布に従う場合の生存確率について、4階の常微分方程式（ODE）を導出すること。
• 初期資本が無限大に近づく際の破産確率の漸近的挙動を調査すること。
• 単一ジャンプ型モデルからの既知の漸近的減衰率に関する結果を、より一般的な両側ジャンプモデルへと拡張すること。

提案手法

• 保険会社の準備金を、ウィーナー過程（リスク資産）と複合ポアソン過程（業務活動）によって駆動される確率的微分方程式の解としてモデル化する。
• 基礎となる確率過程の正則性および積分微分方程式の性質を用いて、破産確率が初期資本の滑らかな関数であることを証明する。
• 指数分布に従うジャンプの場合、変換および漸近的解析を用いて、積分微分方程式（IDE）を変数係数をもつ4階線形ODEに簡約する。
• 初期資本 $u \to \infty$ におけるODEの基本行列解の挙動を解析することで、漸近的解析を適用する。固有値解析および摂動論を用いる。
• 支配的バランスの方法および固有値分解を用いて、破産確率の主要項の漸近的挙動を特定する。
• ODEの解の減衰率を分析することにより、漸近的形 $\Psi(u) \sim C u^{-\beta}$ を確立する。ここで $\beta = 2a/\sigma^2 - 1$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正負の両方のジャンプが存在し、リスク資産に投資が行われる状況下でも、初期資本に関する破産確率は滑らかに保たれるか？
• RQ2 ジャンプサイズが指数分布に従う場合、破産確率は4階の常微分方程式で特徴付けられるか？
• RQ3 リスク資産への投資を伴う両側ジャンプモデルにおいて、初期資本 $u \to \infty$ のときの破産確率の漸近的減衰率は何か？
• RQ4 リスク資産のボラティリティが高くなると、Cramér 条件を満たしても破産が確率1で発生する条件は何か？
• RQ5 生命保険と非生命保険の両方のリスクが存在する場合、単一リスクモデルと比較して破産確率の漸近的挙動にどのような影響を与えるか？

主な発見

• ジャンプ分布にやや弱いモーメント条件が成立する限り、破産確率は初期資本に関する滑らかな関数である。
• 指数分布に従うジャンプの場合、生存確率は変数係数をもつ4階線形ODEを満たし、これは基礎となる積分微分方程式から導出される。
• 破算確率の漸近的挙動は、$u \to \infty$ において $Ψ(u) \sim C u^{-\beta}$ である。ここで $C > 0$ かつ $β = 2a/\sigma^2 - 1$。
• 減衰率 $β$ は、単一ジャンプ型モデルから知られている結果と一致しており、同じリスクパラメータのもとで漸近的挙動の普遍性を示している。
• 破算確率が確率1で発生するのは $β \geq 1$、すなわち $2a/\sigma^2 \geq 2$ のときであり、これはボラティリティがドリフトに対して果たす重要な役割を確認する。
• Sparre Andersen モデルに投資を組み込んだ場合の確率1での破算の十分条件を導出し、以前の結果を再生産型の保険請求到着に拡張した。