[論文レビュー] Ruled surfaces asymptotically normalized

Stylianos Stamatakis, Ioannis Kaffas|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ユークリッド3次元空間における漸近的に正規化された直母線面を調査し、法線が漸近平面に位置する相対的正規化を導入する。相対的像が相対的球面であるか、曲線に退化するすべての直母線面を分類し、漸近的像の反復列およびベクトル場の性質を分析し、右螺旋面、右錐面、およびエーリンガー面を特徴的なケースとして特定する。

ABSTRACT

We consider a skew ruled surface $Φ$ in the Euclidean space $E^{3}$ and relative normalizations of it, so that the relative normals at each point lie in the corresponding asymptotic plane of $Φ$. We call such relative normalizations and the resulting relative images of $Φ$ \emph{asymptotic}. We determine all ruled surfaces and the asymptotic normalizations of them, for which $Φ$ is a relative sphere (proper or inproper) or the asymptotic image degenerates into a curve. Moreover we study the sequence of the ruled surfaces ${Ψ_{i}}_{i\in \mathbb{N}}$, where $Ψ_{1}$ is an asymptotic image of $Φ$ and $Ψ_{i}$, for $i\geq2$, is an asymptotic image of $Ψ_{i-1}$. We conclude the paper by the study of various properties concerning some vector fields, which are related with $Φ$.

研究の動機と目的

• 相対的正規化が表面の漸近平面内に法線を置くような直母線面を特徴づけること。
• このような漸近的正規化の下で、相対的球面（正しくても不適切でもよい）を生成するすべての直母線面を特定すること。
• 初期の直母線面から始める漸近的像の反復列の挙動を研究すること。
• 直母線面およびその相対的正規化に関連するベクトル場の幾何的性質を分析すること。

提案手法

• 支持関数および相対的計量を用いて、相対的微分幾何学的手法により、漸近的正規化を定義する。
• ダーボウテンソルおよびチェビシェフベクトルを用いて、曲率および形状作用素を分析する。
• 相対的形状作用素およびピック不変量を用いて、相対的曲率および平均曲率を研究する。
• 生成子に沿うパラメータ v における多項式系を導出し、支持ベクトル場が曲線に対して接線または直交するかを特定する。
• 直母線面の基本不変量を用いる：分布パラメータ δ、円錐的曲率 κ、および λ = cotσ。
• 漸近線、u-曲線、K-曲線、およびユークリッドの曲率線に対する微分方程式を解析し、ケースを分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの直母線面が、相対的正規化が表面の漸近平面内に法線を置くようにできるか？
• RQ2 どの直母線面が、漸近的像が曲線に退化するか、または相対的球面になるか？
• RQ3 与えられた直母線面から始める漸近的像の反復列の挙動はいかなるものか？
• RQ4 支持ベクトル場が漸近線、u-曲線、K-曲線、またはユークリッドの曲率線に対して接線または直交する条件は何か？
• RQ5 エーリンガー面の曲率線に接するとき、ベクトル場 Q が示す幾何的性質は何か？

主な発見

• 支持ベクトル場 Q が Φ の曲がった漸近線に接線であるための必要十分条件は、Φ が右螺旋面であり、f = c ∈ ℝ* であることである。
• 支持ベクトル場 Q が Φ の曲がった漸近線に直交するための必要十分条件は、Φ が右錐面であり、f = c|δ|e^{2∫(δ/δ')du}、c ∈ ℝ* であることである。
• 支持ベクトル場 Q が Φ のu-曲線に接線であるための必要十分条件は、Φ が右錐面であり、f = c|δ|、c ∈ ℝ* であることである。
• 支持ベクトル場 Q が Φ のu-曲線に直交するための必要十分条件は、Φ の緊縮曲線がユークリッドの曲率線であり、f = c|δ|、c ∈ ℝ* であることである。
• 支持ベクトル場 Q が Φ のK-曲線に接線であるための必要十分条件は、Φ が右螺旋面であり、f = c ∈ ℝ* であることである。
• 支持ベクトル場 Q が Φ のK-曲線に直交するための必要十分条件は、Φ がエーリンガー面であり、f = c ∈ ℝ* であることである。