[論文レビュー] Run Distribution Over Flattened Partitions

Olivia Nabawanda, Fanja Rakotondrajao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、[n] 上のフラット化された分割の組み合わせ的枠組みを導入し、k 個のランを含むような分割の数を $ f_{n,k} $ と定義する。再帰関係、指数型母関数、および [n] の集合分割と [n+1] のフラット化分割の間の新しい双対写像を確立し、分割におけるサイズ >1 のブロックの数が、対応するフラット化分割におけるランの数から1を引いたものに等しいことを示す。これにより、OEIS A124324 に対する新しい組み合わせ的解釈が得られる。

ABSTRACT

The study of flattened partitions is an active area of current research. In this paper, our study unexpectedly leads us to the OEIS numbers A124324. We provide a new combinatorial interpretation of these numbers. A combinatorial bijection between flattened partitions over $[n+1]$ and the partitions of $[n]$ is also given in a separate section. We introduce the numbers $f_{n, k}$ which count the number of flattened partitions over $[n]$ having $k$ runs. We give recurrence relations defining them, as well as their exponential generating function in differential form. It should be appreciated if its closed form is established. We extend the results to flattened partitions where the first $s$ integers belong to different runs. Combinatorial proofs are given.

研究の動機と目的

• フラット化分割におけるランの統計、特に k 個のランを含むような分割の数 $ f_{n,k} $ を定義し、分析すること。
• 再帰関係および $ f_{n,k} $ の指数型母関数を確立し、その微分形式を調べること。
• 最初の s 個の整数が異なるランに属するフラット化分割に一般化し、$ f_{n,k}^{(s)} $ を導入すること。
• 集合分割 [n] とフラット化分割 [n+1] の間の双対写像を構成し、ブロックサイズやラン数などの構造的性質を保つことの証明を行うこと。
• OEIS シーケンス A124324 に対する新しい組み合わせ的解釈を提供すること。このシーケンスは、[n] の分割においてサイズ >1 のブロックが k 個あるものの数を数える。

提案手法

• ランが増加部分列であり、その先頭要素が順序付けられているものとして、[n] 上のフラット化分割において k 個のランを含むものの数 $ f_{n,k} $ を定義する。
• 最大の要素 n を既存のランに挿入するか、新しいランとして挿入するという組み合わせ的議論に基づき、$ f_{n,k} $ の再帰関係を導出する。
• 指数型母関数 $ F(x,u) = rac{1}{1 - x(e^u - 1)} $ を導入し、微分方程式 $ F_u = x(e^u - 1)F $ を満たすことを示し、その閉形式構造を導出する。
• 最初の s 個の整数が異なるランに属するフラット化分割を数える $ f_{n,k}^{(s)} $ に一般化し、母関数 $ F^{[s]}(x,u) = (x(e^u - 1))^s F(x,u) $ を導出する。
• ブロックを再配置して最小値を末尾に置き、区切り文字を削除し、全要素に1を加え、先頭に1を付加することで、$ ext{Partitions of }[n] o ext{Flattened partitions of }[n+1] $ の双対写像 f を構成する。
• この双対写像が、分割におけるサイズ >1 のブロック数とフラット化分割におけるラン数を保存することを証明し、サイズ >1 のブロックが k-1 個であることは、対応するフラット化分割が k 個のランを持つことと同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラット化分割 [n] の組み合わせ的構造は何か？ また、k 個のランを含むような分割の数 $ f_{n,k} $ はどのように特徴づけられるか？
• RQ2 再帰関係および指数型母関数は、フラット化分割におけるランの分布をどのように記述するか？
• RQ3 フラット化分割において最初の s 個の整数が異なるランに属することは、ランの分布にどのような意味を持つのか？ また、これはどのように一般化されるか？
• RQ4 集合分割 [n] とフラット化分割 [n+1] の間で、ブロックサイズやラン数といった構造的不変量を保つ双対写像を構成できるか？
• RQ5 シーケンス $ f_{n,k} $ は既知の整数列（OEIS において）に対応するか？ また、A124324 に対して新しい組み合わせ的解釈を提供できるか？

主な発見

• 数 $ f_{n,k} $ は再帰関係 $ f_{n,k} = (k-1)f_{n-1,k} + (n-k+1)f_{n-1,k-1} $ を満たし、初期条件は $ f_{n,1} = 1 $、$ f_{n,n} = 1 $、$ f_{n,k} = 0 $（k > n のとき）である。
• $ f_{n,k} $ の指数型母関数は $ F(x,u) = rac{1}{1 - x(e^u - 1)} $ であり、微分方程式 $ F_u = x(e^u - 1)F $ を満たす。
• 最初の s 個の整数が異なるランに属する一般化された場合、母関数は $ F^{[s]}(x,u) = (x(e^u - 1))^s F(x,u) $ であり、再帰関係は s に依存する項を含む。
• 双対写像 $ f: ext{Partitions of }[n] o ext{Flattened partitions of }[n+1] $ は適切に定義されており、双射である。また、サイズ >1 のブロック数とラン数を両方保存する。
• 分割 $ P $ におけるサイズ >1 のブロックの数が $ k-1 $ であることは、対応するフラット化分割 $ au = f(P) $ が $ k $ 個のランを持つことと同値である。
• k=2 のとき $ f_{n,k} $ はオイラー数に一致し、$ f_{n,k} $ の全配列は OEIS A124324 と一致する。これにより、A124324 は [n] の分割において k 個のサイズ >1 のブロックを持つものの数として、新しい組み合わせ的解釈が得られる。