[論文レビュー] SafEDMD: A Koopman-based data-driven controller design framework for nonlinear dynamical systems

Robin Strässer, Manuel Schaller+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2024

Control Systems and Identification被引用数 8

ひとこと要約

SafEDMDは、EDMDを介して非線形システムのデータ駆動型双線形代理を導入し、原点で消失する比例的な誤差境界を伴うことにより、閉ループ指数安定性を保証する制御器を実現する。離散時間・導関数不要データを用いて、既存のKoopmanベース手法より信頼性を示す。

ABSTRACT

The Koopman operator serves as the theoretical backbone for machine learning of dynamical control systems, where the operator is heuristically approximated by extended dynamic mode decomposition (EDMD). In this paper, we propose SafEDMD, a novel stability- and feedback-oriented EDMD-based controller design framework. Our approach leverages a reliable surrogate model generated in a data-driven fashion in order to provide closed-loop guarantees. In particular, we establish a controller design based on semi-definite programming with guaranteed stabilization of the underlying nonlinear system. As central ingredient, we derive proportional error bounds that vanish at the origin and are tailored to control tasks. We illustrate the developed method by means of several benchmark examples and highlight the advantages over state-of-the-art methods.

研究の動機と目的

• Koopman演算子を用いて未知の非線形ダイナミクス系に対するデータ駆動型で安定性とフィードバック指向の制御器設計を提供する。
• 原点で消失する誤差境界を持つ、EDMDにより学習された双線形代理モデルを開発する。
• 収得領域内で閉ループ指数安定性を保証する状態フィードバック制御器を設計する。
• 有限データの誤差境界がロバスト制御保証とRoA（到達領域）に与える影響を定量化する。
• ベンチマークとなる非線形システムでアプローチを実証し、最先端手法と比較する。

提案手法

• 未知の非線形制御アファイン系を、観測量の辞書上で作用する離散時間Koopman演算子として表現する。
• 一定の制御入力とその単位ベクトルからのデータを用いて、EDMDで構造化された双線形代理モデルを学習する。
• 定数部と非定数部を分離するブロック構造のKoopman形式を課し、最小二乗回帰から推定量A, b0,i, Biを得る。
• 原点で消失する比例誤差境界を導出し、リフト状態近似誤差を上限化する（定理3.1）。
• 代理モデルと誤差境界を用いたデータ駆動制御器設計を提案し、所定の到達領域内で指数安定性を保証する（定理4.1）。
• Corollary 4.2は、サンプリングされたフィードバックを介して安定性を保証する連続時間の系へのコロラリー。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 データ駆動型EDMDアプローチにより、未知の非線形制御アファイン系に対してどのように双線形代理を得られるか？
• RQ2 有限データのKoopman近似に対して原点で消失する誤差境界を確立し、信頼できる制御を可能にできるか？
• RQ3 このような代理を活用して、閉ループ指数安定性保証を持つフィードバック制御器を設計できるか？
• RQ4 データ量とサンプリングレートと、得られる到達領域と安定性保証との関係は何か？
• RQ5 安定性保証と実用的性能の観点で、SafEDMDは既存のKoopmanベース制御手法とどのように比較されるか？

主な発見

• 構造化されたEDMDベースのアーキテクチャ（SafEDMD）は、原点で消失する誤差境界を伴うKoopman演算子の双線形代理を学習する。
• 定理3.1は、学習した代理に対する比例的でデータ依存の誤差境界を提供し、堅牢な制御器設計を可能にする。
• 定理4.1は、有限データと学習モデルに基づき、所定の到達領域内で指数安定性を達成する状態フィードバック制御器の存在を証明する。
• Corollary 4.2は、サンプリングされたフィードバックの下で、連続時間の非線形系への安定性保証を拡張する。
• 非線形ベンチマーク（例：非線形倒立振子）での数値実験は、EDMDcベースのLQRが失敗する場面でSafEDMDが安定化を達成し、計算も非常に高速で1秒未満で解が得られることを示す。
• このアプローチは導関数データを必要とせず、離散的な状態サンプルのみに依存するため、ベクトル場の導関数を必要とする手法と区別される。