[論文レビュー] Sample Complexity of Automated Mechanism Design

Maria-Florina Balcan, Tüomas Sandholm+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Auction Theory and Applications参考文献 48被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、決定的組み合わせオークションにおける自動メカニズム設計のための最初のタイトなサンプル複雑度の境界を確立し、真の評価分布上での期待収益がサンプル上の経験的収益をよく近似するようにするための必要なサンプル数を示している。分析は標準的なオークションクラスの階層に適用され、サンプル化された評価を用いたスケーラブルで高収益のメカニズム設計の理論的基盤を提供する。

ABSTRACT

The design of revenue-maximizing combinatorial auctions, i.e. multi-item auctions over bundles of goods, is one of the most fundamental problems in computational economics, unsolved even for two bidders and two items for sale. In the traditional economic models, it is assumed that the bidders' valuations are drawn from an underlying distribution and that the auction designer has perfect knowledge of this distribution. Despite this strong and oftentimes unrealistic assumption, it is remarkable that the revenue-maximizing combinatorial auction remains unknown. In recent years, automated mechanism design has emerged as one of the most practical and promising approaches to designing high-revenue combinatorial auctions. The most scalable automated mechanism design algorithms take as input samples from the bidders' valuation distribution and then search for a high-revenue auction in a rich auction class. In this work, we provide the first sample complexity analysis for the standard hierarchy of deterministic combinatorial auction classes used in automated mechanism design. In particular, we provide tight sample complexity bounds on the number of samples needed to guarantee that the empirical revenue of the designed mechanism on the samples is close to its expected revenue on the underlying, unknown distribution over bidder valuations, for each of the auction classes in the hierarchy. In addition to helping set automated mechanism design on firm foundations, our results also push the boundaries of learning theory. In particular, the hypothesis functions used in our contexts are defined through multi-stage combinatorial optimization procedures, rather than simple decision boundaries, as are common in machine learning.

研究の動機と目的

• 真の未知の評価分布上での期待収益に近い経験的収益を達成するために必要なサンプル数を理解するという、重要なギャップを埋める。
• 自動メカニズム設計で用いられる標準的な決定的組み合わせオークションクラスの階層に対する形式的なサンプル複雑度の保証を提供する。
• サンプル性能と真の期待性能を結びつけることで、スケーラブルな自動メカニズム設計の理論的基盤を確立する。
• 単純な意思決定境界ではなく、マルチステージの組み合わせ最適化によって定義される複雑な仮説クラスへの学習理論の拡張を行う。
• 計算経済学およびメカニズム設計分野における主要な未解決問題を解決する：サンプルデータから高収益オークションを信頼性高く学習する方法は何か。

提案手法

• 単一入札者および複数入札者設定を含む、決定的組み合わせオークションクラスの階層に対するサンプル複雑度分析を提案する。
• 特定の構造的性質を持つ評価関数の構築を用いて、サンプル複雑度の下界を導出する。
• 一様収束理論を適用し、特定のクラスに属するすべてのオークションにおける経験的収益と期待収益の差をバインドする。
• 双対性に基づく議論を用いて、任意の評価関数の部分集合 H に対して、H に属するかどうかに応じて収益が 0 または 1−γ に分かれる単調なバンドルリザーブ価格メカニズムが存在することを示す。
• 極値組合せ論を活用し、特定のリザーブ価格下で制御された収益行動を示す、サイズ Ω(4^m / √m) の単一入札者、m アイテムの評価関数の集合 V を構築する。
• 他の入札者の評価を 0 に設定することで、単一入札者設定からの下界構築を n 入札者設定に拡張し、収益の区別を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サンプル上でのメカニズムの経験的収益が真の分布上での期待収益に近いことを保証するために、最小でどの程度のサンプル数が必要か。
• RQ2 標準的な決定的組み合わせオークションクラスにおいて、サンプル複雑度はアイテム数および入札者数の関数としてどのようにスケーリングされるか。
• RQ3 単純な仮説クラスではなく、マルチステージの組み合わせ最適化によって定義されるオークションクラスに対して、タイトなサンプル複雑度の境界を確立できるか。
• RQ4 任意の部分集合が、異なる収益結果（0 または 1−γ）を示す単一のオークションメカニズムによって区別できるような評価関数の集合を構築できるか。
• RQ5 評価分布からのサンプルのみが利用可能な状況で、高収益の組み合わせオークションを学習する際の本質的複雑度は何か。

主な発見

• 本論文は、標準的な決定的組み合わせオークションクラスの階層における一様収束のためのタイトなサンプル複雑度境界 Ω(1/ε²) を確立し、ε は収益近似の所望の精度を表す。
• 任意の m≥2 に対して、任意の部分集合 H が、収益が 0 または 1−γ に分かれる単調なバンドルリザーブ価格メカニズムによって区別可能な、Ω(4^m / √m) 個の単一入札者、m アイテムの評価関数の集合が存在する。
• 決定的組み合わせオークションの全階層におけるサンプル複雑度の下界は Ω(4^m / √m) であり、サンプル数がアイテム数に対して指数関数的に増加しなければならないことを示している。
• 結果から、サンプルを用いた任意の自動メカニズム設計アルゴリズムは、経験的収益から期待収益への一様収束を高確率で保証するために、少なくとも Ω(4^m / √m) 個のサンプルを必要とする。
• 分析から、マルチステージ最適化手順に依存するため、自動メカニズム設計における仮説クラスは、標準的な機械学習クラスよりも本質的に複雑であることが明らかになった。
• 本研究の発見は、サンプルベースの自動メカニズム設計のスケーラビリティと信頼性に対する最初の形式的根拠を提供し、計算経済学における長年の未解決問題を解決した。