[論文レビュー] Sampling and interpolation in Bargmann-Fock spaces of polyanalytic functions

Luís Daniel Abreu|ArXiv.org|Jan 28, 2009

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 42被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、時間周波数解析とガボールフレーム理論を用いて、多解析関数のバーグマン＝フォック空間における格子サンプリングおよび補間列の完全な特徴付けを確立する。多解析的バーグマン変換を導入し、次数 $ n $ の空間では、サンプリングが発生するのはBeurling密度が $ n $ を超える場合に限り、補間が発生するのはその密度が $ n $ より小さい場合に限り、$ n $ に鋭い「ナイキストレート」依存性が現れることが示された。

ABSTRACT

Using Gabor analysis, we give a complete characterization of all lattice sampling and interpolating sequences in the Fock space of polyanalytic functions, displaying a "Nyquist rate" which increases with $n$, the degree of polyanaliticity of the space. Such conditions are equivalent to sharp lattice density conditions for certain vector-valued Gabor systems, namely superframes and Gabor super-Riesz sequences with Hermite windows, and in the case of superframes they were studied recently by Gröchenig and Lyubarskii. The proofs of our main results use variations of the Janssen-Ron-Shen duality principle and reveal a duality between sampling and interpolation in polyanalytic spaces, and multiple interpolation and sampling in analytic spaces. To connect these topics we introduce the\emph{polyanalytic Bargmann transform}, a unitary mapping between vector valued Hilbert spaces and polyanalytic Fock spaces, which extends the Bargmann transform to polyanalytic spaces. Motivated by this connection, we discuss a vector-valued version of the Gabor transform. These ideas have natural applications in the context of multiplexing of signals. We also point out that a recent result of Balan, Casazza and Landau, concerning density of Gabor frames, has important consequences for the Gröchenig-Lyubarskii conjecture on the density of Gabor frames with Hermite windows.

研究の動機と目的

• 多解析的関数のバーグマン＝フォック空間における格子サンプリングおよび補間列の完全な特徴付けを提供すること。
• 多解析的フォック空間におけるサンプリングと、解析的フォック空間における多重補間との間の双対性を確立し、逆も同様にすること。
• ベクトル値ヒルベルト空間と多解析的フォック空間との間のユニタリ写像としての多解析的バーグマン変換を導入すること。
• ヘルメート窓を用いたベクトル値系へのガボールフレーム理論の拡張、特にスーパーフレームおよびスーパーライプスシーケンスの取り扱い。
• ヘルメート窓を用いたガボールフレームおよびスーパーフレームの密度条件を解明し、Gröchenig-Lyubarskii予想と結びつけること。

提案手法

• Janssen-Ron-Shen双対性原理を用いて、多解析的フォック空間におけるサンプリングおよび補間を、ベクトル値ガボール系に関連付ける。
• 多解析的バーグマン変換を、$ L^2(\bbR, \bbC^n) $ と $ \bF^n(\bbC) $ の間のユニタリ同型写像として導入し、古典的バーグマン変換を多解析的関数へ一般化する。
• ヘルメート窓を用いたスーパーフレームおよびスーパーライプスシーケンスの理論を応用し、ガボール系の密度条件を導出する。
• 格子列 $ Λ = A\bbZ^2 $ に対して、Beurling密度 $ D(Λ) = |∂ A|^{-1} $ を用いてサンプリングおよび補間を特徴付ける。
• 多解析的空間 $ \bF^n(\bbC) $ におけるサンプリングと、解析的空間 $ \bF^1(\bbC) $ における多重補間との双対性、および補間と多重サンプリングとの双対性を用いる。
• Rieffel-Ramanathan-Steger定理およびスカラー版Ron-Shen双対性を用いて、真の多解析的空間 $ \cF^{n-1}(\bbC) $ における補間の必要条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数 $ n $ の多解析的関数のバーグマン＝フォック空間において、格子がサンプリング列であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 同じ空間において、格子が補間列であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 多解析的フォック空間におけるサンプリングおよび補間は、古典的解析的フォック空間における多重サンプリングおよび補間とどのように関係するか？
• RQ4 ヘルメート窓を用いたガボールスーパーフレームおよびスーパーライプスシーケンスの密度条件は、完全に特徴付けられるか？
• RQ5 GröchenigとLyubarskiiが提示した、ヘルメート窓を用いたガボールフレームの密度に関する予想は、本稿の結果によって支持されるか？

主な発見

• 格子 $ \Gamma $ が $ \bF^n(\bbC) $ に対してサンプリング列であるための必要十分条件は、そのBeurling密度が $ D(\Gamma) > n $ を満たすことである。
• 格子 $ \Gamma $ が $ \bF^n(\bbC) $ に対して補間列であるための必要十分条件は、そのBeurling密度が $ D(\Gamma) < n $ を満たすことである。
• 多解析的フォック空間 $ \bF^n(\bbC) $ におけるサンプリングと、解析的フォック空間 $ \bF^1(\bbC) $ における多重補間との双対性、および補間と多重サンプリングとの双対性が厳密に確立された。
• 多解析的バーグマン変換は、$ L^2(\bbR, \bbC^n) $ から $ \bF^n(\bbC) $ へのユニタリ写像であり、古典的バーグマン変換を多解析的関数へ拡張する。
• 結果から、ヘルメート窓を用いたガボールスーパーフレームの密度閾値が鋭く、$ n $ と共に増加することが確認され、Gröchenig-Lyubarskii予想が支持された。
• 真の多解析的空間 $ \cF^{n-1}(\bbC) $ に対して、サンプリングの十分条件は $ D(\Lambda) > n $、補間の必要条件は $ D(\Lambda) < n $ であるが、後者は鋭くない。