[論文レビュー] Sampling-based verification of Lyapunov's inequality for piecewise continuous nonlinear systems

Ruxandra Bobiti, Mircea Lazar|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2016

Control Systems and Identification参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、連続的でない非線形系におけるラプラウスの不等式を検証するための、サンプリングに基づく分散型手法を提案する。この手法は、初期状態の有限で多スケールのサンプルに対して減少条件を検証し、連続性を用いて有効性を拡張することで、大規模な最適化を回避する。ハイパーレクトアングルのサンプリングブロックを用いることで、最適化の規模を小さくし、離散時系列および連続時系列の両方のシステムに対してスケーラブルかつ形式的な安定性検証を可能にするとともに、吸引域の推定を保証する。

ABSTRACT

This paper considers a sampling-based approach to stability verification for piecewise continuous nonlinear systems via Lyapunov functions. Depending on the system dynamics, the candidate Lyapunov function and the set of initial states of interest, one generally needs to handle large, possibly non-convex or non-feasible optimization problems. To avoid such problems, we propose a constructive and systematically applicable sampling-based method to Lyapunov's inequality verification. This approach proposes verification of the decrease condition for a candidate Lyapunov function on a finite sampling of a bounded set of initial conditions and then it extends the validity of the Lyapunov function to an infinite set of initial conditions by automatically exploiting continuity properties. This result is based on multi-resolution sampling, to perform efficient state- space exploration. Using hyper-rectangles as basic sampling blocks, to account for different constraint scales on different states, further reduces the amount of samples to be verified. Moreover, the verification is decentralized in the sampling points, which makes the method scalable. The proposed methodology is illustrated through examples.

研究の動機と目的

• 高次元で非凸的、または取り扱いにくい系において、従来の最適化に基づくラプラウス関数検証のスケーラビリティと実行可能性の問題に対処すること。
• 大規模なグローバル最適化問題を解かずに、構成的で決定論的な枠組みを用いてラプラウスの不等式を検証すること。
• 連続性を用いて有限サンプルの検証を無限集合へ拡張することで、区分的連続な非線形系に対する形式的安定性解析を可能にすること。
• 統一的なサンプリングベースの検証アプローチにより、分散型でスケーラブルな計算を実現し、離散時系列および連続時系列の両方のシステムをサポートすること。
• 実世界のシステム、例えばパワートレイン制御において、非凸的で保証された吸引域（DOA）を計算すること。

提案手法

• 有界な集合 $ \mathcal{S} \subset \mathbb{R}^n $ の有限で多スケールのサンプリングにおいて、$ V(G^k(x)) - \rho(V(x)) < 0 $ のラプラウス減少条件を検証する。ここで $ G $ はシステム写像、$ \rho $ は比較関数である。
• 状態制約のスケールに応じて適応可能なハイパーレクトアングルをサンプリングブロックとして用い、必要なサンプル数を削減する。
• サンプリング点ごとに分散型に検証を行うことで、グローバル最適化を必要とせず、並列かつスケーラブルな計算を実現する。
• 連続性の性質を活用して、有限サンプルからのラプラウス条件の有効性を非可算無限の初期状態集合へ拡張する。
• 連続時系列系に対しては、Euler離散化されたシステムに適用し、結果を元の連続系で検証する。
• レベル集合の計算アルゴリズムを用いて、サンプリングされた集合に含まれる最大の不変集合 $ \mathbb{W} $ を計算し、保証された吸引域を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模で非凸的な最適化問題を解かずに、区分的連続な非線形系におけるラプラウスの不等式を検証できるか？
• RQ2 有限サンプリングをどのようにして連続性を用いて無限個の初期条件に対する安定性を保証できるか？
• RQ3 どのようにすれば、高次元状態空間の効率的でスケーラブルかつ適応的な探索が可能になるか？
• RQ4 この手法は、形式的保証を伴って、離散時系列および連続時系列の両方のシステムに適用可能か？
• RQ5 提案手法は、実世界のシステム（例：パワートレイン制御）に対して、非凸的で保証された吸引域を計算できるか？

主な発見

• 3次元のパワートレイン制御系に対して、レベル集合 $ \overline{L} = 0.0209 $ を持つ保証された吸引域 $ \mathbb{W} $ が正しく計算され、空燃比が最適値の10％以内に保たれることを保証した。
• グローバル最適化を回避するため、連続性に基づく拡張を用いた分散型有限サンプル検証を採用することで、高次元系へのスケーラビリティを実現した。
• 多スケールハイパーレクトアングルのサンプリングにより、状態制約のスケールの違いを考慮しながら必要なサンプル数を削減した。
• すべての $ x \in \mathcal{S} $ に対して $ V(G^3(x)) - 0.999V(x) < 0 $ が成り立つことが保証され、ここで $ \mathcal{S} $ は検証済み集合と保証された集合 $ \mathcal{A} $ の和集合である。
• 最終的なラプラウス関数 $ W(x) = \sum_{i=0}^{2} G^i(x)^T P G^i(x) $ は、非凸な不変集合 $ \mathbb{W} $ を生成し、離散化されたシステムおよび元の連続時系列システムの両方の吸引域（DOA）の部分集合である。
• 本手法は実世界のパワートレインシステムで検証され、形式的かつスケーラブルかつ実用的な安定性保証を提供できることを示した。