[論文レビュー] Sampling from multi-modal distributions on Riemannian manifolds with training-free stochastic interpolants

Alain Durmus, Maxence Noble+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2026

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用数 0

ひとこと要約

要約: 本論文は FRIPS を提案する。訓練を必要としない方法でリーマン多様体上の正規化されていない密度からサンプリングするために、ノイズをターゲットへ輸送する非平衡決定論的フローを模擬し、リーマン幾何確率補間フレームワークを介して周辺分布を保持する。

ABSTRACT

In this paper, we propose a general methodology for sampling from un-normalized densities defined on Riemannian manifolds, with a particular focus on multi-modal targets that remain challenging for existing sampling methods. Inspired by the framework of diffusion models developed for generative modeling, we introduce a sampling algorithm based on the simulation of a non-equilibrium deterministic dynamics that transports an easy-to-sample noise distribution toward the target. At the marginal level, the induced density path follows a prescribed stochastic interpolant between the noise and target distributions, specifically constructed to respect the underlying Riemannian geometry. In contrast to related generative modeling approaches that rely on machine learning, our method is entirely training-free. It instead builds on iterative posterior sampling procedures using only standard Monte Carlo techniques, thereby extending recent diffusion-based sampling methodologies beyond the Euclidean setting. We complement our approach with a rigorous theoretical analysis and demonstrate its effectiveness on a range of multi-modal sampling problems, including high-dimensional and heavy-tailed examples.

研究の動機と目的

• リーマン多様体上のターゲット分布からのサンプリングを動機づける。多モーダルターゲットや拘束幾何を含む。
• 訓練データや学習済みスコアモデルなしで拡散モデルの考えを多様体設定へ拡張する。
• 実用的で訓練不要な反復的後方サンプリングフレームワーク（FRIPS）を理論的保証とともに開発する。
• Riemannian stochastic interpolants およびそれらのマルコフ投影を、Rd や Sd のような多様体に適した明示的形で提供する。

提案手法

• easy-to-sample ノイズ分布からターゲットへの橋渡しとなる Riemannian stochastic interpolant を構築する。
• サンプル間の時変測地線ベース補間を定義し、多様体上で滑らかな密度経路を作る。
• 連続方程式を介して周辺分布を保持する時系列ベクトル場を導出し、O D E フローへのマルコフ投影を行う。
• スコアモデルを訓練せずに denoising posteriors のモンテカルロ後方サンプリングを用いて速度場をその場で推定する。
• 多様体上での実用的な初期化スキーム X0 を実装し、オイラー法を用いた確率フローODEを離散化する。
• 効率的な FRIPS 展開のため Rd および Sd の特殊ケースの明示的表現を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のリーマン多様体上の正規化されていない、あるいは多モーダルな密度からどのようにサンプリングするか？
• RQ2 訓練データや学習済みスコアなしで拡散/モデルベースのサンプリングアイデアを多様体へ適用できるか？
• RQ3 リーマン stochastic interpolant とそのマルコフ投影に沿って周辺分布が保持される理論条件は何か？
• RQ4 Rd や Sd のような多様体で訓練不要のフロー型サンプラー（FRIPS）を実践的に実装するには？
• RQ5 FRIPS は高次元・重尾・多モーダルターゲットに対して既存のリーマン・サンプラーと比較してどの程度の性能を発揮するか？

主な発見

• FRIPS は訓練不要のフレームワークを提供し、リーマン多様体上の非平衡決定論的ダイナミクスを通じてノイズ分布をターゲットへ輸送する。
• 測地線ベース補間と周辺分布を保持するマルコフ投影を備えたリーマン stochastic interpolation パスを構築する。
• フローを駆動する速度場は denoising posteriors の条件付き期待値として表現され、モンテカルロ法で推定される。
• 初期分布 πt0 からの実用的なサンプリングのため、リーマン多様体上の離散化された Euler様式の系を提供する。
• Rd および Sd に対する明示的表現が提供され、これらの空間での FRIPS の効率的実現を可能にする。
• 提案実験において多モーダル・高次元・重尾ターゲットを扱えることが示される。