[論文レビュー] Sampling measures, Muckenhoupt Hamiltonians, and triangular factorization

Roman Bessonov|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Paley-Wiener 空間 PWa の偶数サンプリング測度 µ が、[0,a] 上の固有ハミルトニアン H = diag(w, 1/w) のスペクトル測度として一意に得られることを確立する。ここで w は Muckenhoupt A2[0,a] 確率測度に属する。主な貢献は、µ と w の間を結ぶ構成的公式を、切断トーピリッツ作用素の逆作用素を用いて得ることであり、[0,a] 上で実記号を持つ正値・有界・可逆なウィーナー・ホフ作用素が三角因子分解を有することを証明する。これは、正規化されたハミルトニアン系における作用素理論および逆スペクトル理論の長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Let $\mu$ be an even measure on the real line $\mathbb{R}$ such that $$c_1 \int_{\mathbb{R}}|f|^2\,dx \le \int_{\mathbb{R}}|f|^2\,d\mu \le c_2\int_{\mathbb{R}}|f|^2\,dx$$ for all functions $f$ in the Paley-Wiener space $\mathrm{PW}_{a}$. We prove that $\mu$ is the spectral measure for the unique Hamiltonian $\mathcal{H}=\left(w&00&\frac{1}{w} ight)$ on $[0,a]$ generated by a weight $w$ from the Muckenhoupt class $A_2[0,a]$. As a consequence of this result, we construct Krein's orthogonal entire functions with respect to $\mu$ and prove that every positive, bounded, invertible Wiener-Hopf operator on $[0,a]$ with real symbol admits triangular factorization.

研究の動機と目的

• PWa の偶数サンプリング測度 µ と w ∈ A2[0,a] を満たす固有ハミルトニアン H = diag(w, 1/w) の間の一対一対応を確立する。
• 切断トーピリッツ作用素を用いて、スペクトル測度 µ から重み w を明示的に再構成する公式を構成する。
• [0,a] 上で実記号を持つ正値・有界・可逆なウィーナー・ホフ作用素が三角因子分解を有することを証明する。
• 関数 r ↦ ||T⁻¹ₘ,ᵣ sincᵣ||²_{L²(µ)} の絶対連続性と、三角因子分解の存在との関係を明らかにする。
• Sakhnovich [17] の論文における、特定のウィーナー・ホフ作用素の因子分解可能性に関する矛盾を、彼の証明における誤りを特定することで解消する。

提案手法

• Weyl-Titchmarsh 変換を用いて、固有ハミルトニアン系のスペクトル測度 µ と、特定関数の L²(µ) ノルムとの関係を確立する。ここで関数には切断トーピリッツ作用素 Tₘ,ᵣ が関与する。
• A2 重み理論と単体上での積分を用いて、c₁ と c₂ のサンプリング定数を用いた w の A2 ノルムの推定を行う。
• Paley-Wiener 空間上での正値切断トーピリッツ作用素の構造に基づく近似法を用いる。
• 関数 r ↦ ||T⁻¹ₘ,ᵣ sincᵣ||²_{L²(µ)} が殆ど everywhere で正の導関数を有する絶対連続関数であることを確立する。
• Paley-Wiener 空間と (PW[0,r], µ) のスペクトル空間とのユニタリ同値性を用いて、必要な因子分解を構成する。
• Sakhnovich の証明における誤りを是正する。彼の主張とは異なり、lim_{y→0⁺} Π(iy) = 1/√(1−μ) であることが示され、彼の結論は無効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PWa の任意の偶数サンプリング測度 µ は、w ∈ A2[0,a] を満たす固有ハミルトニアン H = diag(w, 1/w) のスペクトル測度として実現可能か？
• RQ2 作用素論的ツールを用いて、スペクトル測度 µ から重み w を明示的に再構成する方法は何か？
• RQ3 [0,a] 上で実記号を持つ正値・有界・可逆なウィーナー・ホフ作用素は、常に三角因子分解を有するか？
• RQ4 関数 r ↦ ||T⁻¹ₘ,ᵣ sincᵣ||²_{L²(µ)} は絶対連続か？その導関数は、対応するハミルトニアンに何を明らかにするか？
• RQ5 本稿の定理3と Sakhnovich [17] の定理4.1 の間にある矛盾は、彼の証明における誤りを特定することで解消可能か？

主な発見

• 固有ハミルトニアン系のスペクトル測度 µ が PWa の偶数サンプリング測度であるための必要十分条件は、対応する重み w が Muckenhoupt A2[0,a] 確率測度に属することである。
• 明示的公式により、r ∈ [0,a] に対して w(r) = π ∂/∂r ||T⁻¹ₘ,ᵣ sincᵣ||²_{L²(µ)} が得られ、ここで Tₘ,ᵣ は記号 µ を持つ切断トーピリッツ作用素である。
• 関数 r ↦ ||T⁻¹ₘ,ᵣ sincᵣ||²_{L²(µ)} は絶対連続であり、その導関数 w/π は正の Lebesgue 測度を持つ集合上で正である。
• 実記号 ψ ∈ S′ を持つ、L²[0,a] 上の正値・有界・可逆なウィーナー・ホフ作用素 Wψ は、Wψ = A*A と三角因子分解可能であり、A は L²[0,r] の入れ子な部分空間を保存する。
• 証明により、Sakhnovich [17] の主張における重大な誤りが特定された。彼の主張とは異なり、lim_{y→0⁺} Π(iy) = 1/√(1−μ) である。この誤りは彼の結論を無効にしている。
• すべての r ∈ [0,2a] に対して、PWa から (PW[0,r], µ) へのユニタリ写像 Vµ が存在することは、µ に関する Krein の直交整関数の存在を示唆する。