[論文レビュー] Sato-Tate groups of abelian threefolds

Francesc Fité, Kiran S. Kedlaya+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、数体上のアーベル3重積に対して、Sato–Tate群を分類し、それらがUSp(6)内で共役を除いてちょうど410個存在することを証明している。そのうち33個は最大群である。ホッジ理論、有限線型群の分類、そして志村のCM型理論を用いて、23個の候補群を除外し、残りの410個は計算ツールと明示的なアーベル3重積の構成によって検証された。

ABSTRACT

Given an abelian variety over a number field, its Sato-Tate group is a compact Lie group which conjecturally controls the distribution of Euler factors of the L-function of the abelian variety. It was previously shown by Fité, Kedlaya, Rotger, and Sutherland that there are 52 groups (up to conjugation) that occur as Sato-Tate groups of abelian surfaces over number fields; we show here that for abelian threefolds, there are 410 possible Sato-Tate groups, of which 33 are maximal with respect to inclusions of finite index. We enumerate candidate groups using the Hodge-theoretic construction of Sato-Tate groups, the classification of degree-3 finite linear groups by Blichfeldt, Dickson, and Miller, and a careful analysis of Shimura's theory of CM types that rules out 23 candidate groups; we cross-check this using extensive computations in Gap, SageMath, and Magma. To show that these 410 groups all occur, we exhibit explicit examples of abelian threefolds realizing each of the 33 maximal groups; we also compute moments of the corresponding distributions and numerically confirm that they are consistent with the statistics of the associated L-functions.

研究の動機と目的

• 数体上のアーベル3重積のすべての可能なSato–Tate群を分類すること。これは、アーベル2重積に関する先行研究を拡張する。
• USp(6)のコンactリー部分群として、アーベル3重積のSato–Tate群として現れる可能性がある群を同定すること。
• アーベル3重積の文脈におけるCM型理論の制約を用いて、誤った候補群を特定・除外すること。
• 33個の最大Sato–Tate群を実現する明示的なアーベル3重積を構成すること。
• Sato–Tate分布のモーメント統計が、関連するL関数が予測する統計と一致するかを数値的に検証すること。

提案手法

• Tate被覆上のホッジ構造からSato–Tate群の候補を生成するホッジ理論的構成を適用する。
• Blichfeldt, Dickson, および Millerによる3次元線型群の分類を用いて、シンプレクティック型の可能性のある有限群を列挙する。
• 志村のCM型理論を適用し、アーベル3重積上で実現可能でないCM型を有する23個の候補群を除外する。
• GAP, SageMath, Magmaを用いた広範な計算により、残りの410個の候補群を相互に検証する。
• モジュラーおよび超幾何的構成を用いて、33個の最大Sato–Tate群を実現する数体上の明示的なアーベル3重積を構成する。
• Sato–Tate分布のモーメントを計算し、関連するL関数からの統計と数値的に比較することで一貫性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体上のアーベル3重積の不変量として現れる、異なるSato–Tate群はいくつ存在するか？
• RQ2 ホッジ理論的構成から得られた候補群のうち、どの群が幾何学的に実現可能か？
• RQ3 アーベル3重積の文脈において、CM型理論の制約によって除外される候補群はどれか？
• RQ4 最大Sato–Tate群の各群を実現する明示的なアーベル3重積を構成できるか？
• RQ5 Sato–Tate分布のモーメント統計は、構成されたアーベル3重積のL関数が予測する統計と一致するか？

主な発見

• USp(6)内の共役を除いて、数体上のアーベル3重積の不変量として現れるSato–Tate群はちょうど410個存在する。
• その410個の群のうち、33個は有限指数の包含に関して最大であり、それぞれが一意的な同種類に一致する。
• 志村の理論に従い、関連するCM型がアーベル3重積上で実現可能でないという要件により、23個の候補群が除外された。
• 33個の最大Sato–Tate群を実現する明示的なアーベル3重積が数体上で構成され、それらの幾何的実現可能性が確認された。
• Sato–Tate分布のモーメントの数値的計算は、関連するL関数の統計と完全に一致しており、これらのケースにおけるSato–Tate予想を支持する。
• GAP, SageMath, Magmaを含む計算代数システムを用いた相互検証により、分類の整合性が確認され、列挙の信頼性が保証された。