[論文レビュー] Scalable Computation of Energy Functions for Nonlinear Balanced Truncation

Boris Kramer, Serkan Gugercin+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非線形バランストレントレーションのエネルギー関数を計算するスケーラブルなテイラー級数ベースの手法を提案する。パラメータ化されたハミルトン＝ジャコビ＝ベルマン（HJB）方程式を構造的線形テンソル系により解くことで、大規模な非線形系におけるH∞エネルギー関数の高精度な多項式近似を可能にする。Burgers方程式およびKuramoto-Sivashinsky PDEに対して、最大1,024状態数、6次近似で評価され、数十億の未知数を扱う計算において収束性と効率性を示した。

ABSTRACT

Nonlinear balanced truncation is a model order reduction technique that reduces the dimension of nonlinear systems in a manner that accounts for either open- or closed-loop observability and controllability aspects of the system. A computational challenges that has so far prevented its deployment on large-scale systems is that the energy functions required for characterization of controllability and observability are solutions of various high-dimensional Hamilton-Jacobi-(Bellman) equations, which are computationally intractable in high dimensions. This work proposes a unifying and scalable approach to this challenge by considering a Taylor-series-based approximation to solve a class of parametrized Hamilton-Jacobi-Bellman equations that are at the core of nonlinear balancing. The value of a formulation parameter provides either open-loop balancing or a variety of closed-loop balancing options. To solve for the coefficients of Taylor-series approximations to the energy functions, the presented method derives a linear tensor system and heavily utilizes it to numerically solve structured linear systems with billions of unknowns. The strength and scalability of the algorithm is demonstrated on two semi-discretized partial differential equations, namely the Burgers and the Kuramoto-Sivashinsky equations.

研究の動機と目的

• 非線形バランストレントレーションにおける高次元ハミルトン＝ジャコビ＝ベルマン（HJB）方程式の計算不能性を解消する。
• 大規模非線形系のエネルギー関数を計算する際のボトルネックを克服し、パラメータ化されたHJB方程式のスケーラブルな解法を実現する。
• 1つの式のパrameterによって、オープンループおよびさまざまなクローズドループバランスオプションを統合的に扱えるフレームワークを構築する。
• 二次近似や代数的グラミアンを用いない真のエネルギー関数を用いて、非線形系におけるモデル順序低減を可能にする。
• 第2部で非正則な変換と多様体近似を扱うための計算的基盤を整える。

提案手法

• 非線形バランストレントレーションの中心的役割を果たすパラメータ化されたHJB方程式のクラスとしてエネルギー関数を定式化する。
• 式のパラメータにおけるテイラー級数展開を用いてエネルギー関数を近似し、多項式係数の解法問題に変換する。
• テイラー展開の係数に対して線形テンソル系を導出し、低ランク構造を活用して数十億の未知数を持つ系を扱えるようにする。
• テンソル構造を活用して、反復解法と行列フリー演算を用いて大規模な構造的線形系を効率的に解く。
• 有限要素法を用いて半離散化されたPDE（BurgersおよびKuramoto-Sivashinsky）に本手法を適用し、標準形への変換を実施する。
• 状態次元（n）と多項式次数（d）を増加させた数値実験を通じてスケーラビリティを示し、エネルギー関数近似の収束を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模非線形系において、H∞エネルギー関数の高精度な多項式近似を効率的に計算できるか？
• RQ2 パラメータ化されたHJB方程式を解く際の計算複雑性を、精度を損なわず低減できるか？
• RQ3 本手法が10億未満の未知数を持つ系に対し、どの程度スケーラブルか？
• RQ4 PDE離散化系において、多項式次数と状態次元を増加させた際、エネルギー関数近似はどのように収束するか？
• RQ5 本フレームワークは、1つの統一的定式化でオープンループおよびクローズドループバランスを両立できるか？

主な発見

• Burgers方程式に対して、最大8次、1,024状態数までH∞エネルギー関数の多項式近似を計算し、過去および未来のエネルギー関数の両方で収束が観察された。
• Kuramoto-Sivashinsky方程式では、n=16、d=6でエネルギー関数近似が収束し、n=1024、d=6で${\cal E}_{d}^{+}(\mathbf{z}_{0})$が約4.83に安定した。
• CPU時間は問題サイズに対して劣線形に増加し、予測されたフロップ数を下回る結果となり、強力なアルゴリズム的効率性を示した。
• 両方のテスト問題におけるエネルギー関数近似は、次数と次元の増加に伴い安定値に収束しており、ロバスト性と精度が確認された。
• テンソル構造を有する線形系により、最大1.07×10^9の未知数を持つ問題を解けることが実証され、大規模系へのスケーラビリティを示した。
• 本フレームワークは、二次近似や代数的グラミアンを回避する真のエネルギー関数を用いた今後の非線形バランストレントレーションの基盤を提供する。