[論文レビュー] Scaling and memory of intraday volatility return intervals in stock market

Fengzhong Wang, Kazuko Yamasaki+2 more|RePEc: Research Papers in Economics|Nov 11, 2005

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 9

ひとこと要約

本研究は、31の株式市場データセットを用いて、高周波度データを用いて、日内ボラティリティリターン間隔のスケーリングおよび記憶特性を調査する。リターン間隔の分布は、時間解像度にかかわらず普遍的にスケーリングされ、伸びた指数関数的形をとることを示し、長距離相関を示している。条件付き確率およびデトレンド型フラクチュエーション解析（DFA）により、ボラティリティクラスタリングにおける持続的記憶効果が確認された。

ABSTRACT

We study the return interval $τ$ between price volatilities that are above a certain threshold $q$ for 31 intraday datasets, including the Standard & Poor's 500 index and the 30 stocks that form the Dow Jones Industrial index. For different threshold $q$, the probability density function $P_q(τ)$ scales with the mean interval $\barτ$ as $P_q(τ)={\barτ}^{-1}f(τ/\barτ)$, similar to that found in daily volatilities. Since the intraday records have significantly more data points compared to the daily records, we could probe for much higher thresholds $q$ and still obtain good statistics. We find that the scaling function $f(x)$ is consistent for all 31 intraday datasets in various time resolutions, and the function is well approximated by the stretched exponential, $f(x)\sim e^{-a x^γ}$, with $γ=0.38\pm 0.05$ and $a=3.9\pm 0.5$, which indicates the existence of correlations. We analyze the conditional probability distribution $P_q(τ|τ_0)$ for $τ$ following a certain interval $τ_0$, and find $P_q(τ|τ_0)$ depends on $τ_0$, which demonstrates memory in intraday return intervals. Also, we find that the mean conditional interval $$ increases with $τ_0$, consistent with the memory found for $P_q(τ|τ_0)$. Moreover, we find that return interval records have long term correlations with correlation exponents similar to that of volatility records.

研究の動機と目的

• 日次データで観察されたボラティリティリターン間隔のスケーリングおよび記憶効果が、日内時間スケールでも成立するかどうかを調査すること。
• さまざまな日内時間解像度（1〜30分）および複数の金融商品におけるスケーリング行動の頑健性を検証すること。
• リターン間隔における長期相関が、ボラティリティ記録と一貫しているかどうかを、高度な統計的手法を用いて同定すること。
• 日内パターンがボラティリティ相関に与える影響を評価し、正規化により補正すること。
• 条件付き確率およびクラスタリング分析を通じて、リターン間隔の記憶構造を探索すること。

提案手法

• 31の日内データセット（30銘柄のダウ・ジョーンズ工業平均株とS&P 500インデックス）を分析。1〜30分の時間間隔を2〜13年分にわたってカバー。
• 時間帯効果を排除するために、日内パターン $ A(s) $ を除去し、局所標準偏差で標準化することで、正規化ボラティリティ $ g(t) $ を定義する。
• リターン間隔 $ \tau $ を、連続するボラティリティ $ g(t) $ が閾値 $ q $（標準偏差単位）を超える時間間隔として定義する。
• スケーリング解析を適用：$ P_q(\tau) = \bar{\tau}^{-1} f(\tau / \bar{\tau}) $ が成り立つかをテストし、すべてのデータセットおよび閾値で普遍的スケーリングが確認された。
• 相関指数 $ \alpha $ を計算するためのデトレンド型フラクチュエーション解析（DFA）を用い、$ \alpha > 0.5 $ であれば長期的持続性を示す。
• 記憶効果を定量化するため、条件付き確率 $ P_q(\tau|\tau_0) $ および平均条件付き間隔 $ \langle \tau | \tau_0 \rangle $ を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボラティリティリターン間隔におけるスケーリングおよび記憶効果は、日次スケールにとどまらず、日内時間スケールでも持続するか？
• RQ2 スケーリング関数 $ f(x) $ は、異なる株式および時間解像度において普遍的か？その関数形はどのようなものか？
• RQ3 リターン間隔における長期相関は、ボラティリティ記録におけるものと比較してどう異なるか？クラスタリングの起源について何を示唆するか？
• RQ4 リターン間隔の記憶は、直前のクラスタのサイズ（短いか長い間隔）に依存するか？
• RQ5 スケーリング関数の伸びた指数関数的形は、長距離相関の強さを定量化するために利用可能か？

主な発見

• すべての31の日内データセットおよび時間解像度において、確率密度関数 $ P_q(\tau) $ が $ \bar{\tau}^{-1} f(\tau / \bar{\tau}) $ の形で普遍的にスケーリングされることを確認した。
• スケーリング関数 $ f(x) $ は、$ \gamma = 0.38 \pm 0.05 $、$ a = 3.9 \pm 0.5 $ の伸びた指数関数 $ e^{-a x^\gamma} $ で良好に近似され、長距離相関を示している。
• 条件付き確率 $ P_q(\tau|\tau_0) $ は $ \tau_0 $ に依存し、$ \langle \tau | \tau_0 \rangle $ は $ \tau_0 $ が大きくなるにつれて増加する。これにより、リターン間隔における持続的記憶が確認された。
• 短いまたは長いリターン間隔のクラスタは、長期記憶を示し、大きなクラスタの後に平均間隔に plateau（平坦化）が現れないことから、持続的クラスタリングが確認された。
• デトレンド型フラクチュエーション解析（DFA）により、ボラティリティおよびリターン間隔系列の両方で長期相関が確認された。ボラティリティでは、大スケールで $ \alpha \approx 0.98 \pm 0.04 $、小スケールで $ \alpha \approx 0.66 \pm 0.01 $、リターン間隔では $ \alpha \approx 0.92 \pm 0.04 $ および $ \alpha \approx 0.64 \pm 0.02 $ であった。
• 大スケールにおいて、ボラティリティおよびリターン間隔系列の両方で相関指数 $ \alpha $ が類似しており、両者の持続的挙動の共通の起源を示唆している。