[論文レビュー] Scaling invariant Serrin criterion via one velocity component for the Navier-Stokes equations

Wendong Wang, Di Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、3次元ナビエ＝ストークス方程式のレイリー弱解に関して、スケーリング不変なセリーン型正則性基準を確立する。正則性が保証されるのは、1つの速度成分 $u_3$ がローレンツ空間 $L^{q,1}(0,T;L^p(/mathbb{R}^3))$ に属する場合であり、$rac{2}{q} + rac{3}{p} o 1$ および $3 < p < ∞$ を満たすときである。この結果は、1つの速度成分に基づく新しい局所正則性基準を用いることで、完全なスケーリング不変性を達成し、従来の基準を拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper, we prove that the Leray weak solution $u : \mathbb{R}^3 imes (0, T) ightarrow\mathbb{R}^3 $ of the Navier-Stokes equations is regular in $\mathbb{R}^3 imes (0,T)$ under the scaling invariant Serrin condition imposed on one component of the velocity $u_3\in L^{q,1}(0, T;L^p(\mathbb{R}^3))$ with \[ \frac{2}{q}+\frac{3}{p}\leq 1,\quad 3

研究の動機と目的

• 3次元ナビエ＝ストークス方程式のスケーリング不変な正則性基準を、1つの速度成分に基づいて確立すること。
• 既存の基準におけるギャップを埋め、スケーリング不変な形で完全なセリーン条件 $\frac{2}{q} + \frac{3}{p} \leq 1$ を達成すること。
• 従来の結果がスケーリング不変でなかったり、1つの速度成分に対してより強い積分可能性条件を要請していたりするのを拡張すること。
• レイリー弱解のグローバル正則性を保証する、適切な弱解に関する新しい局所正則性基準を提供すること。この基準は、$u_3$ におけるローレンツ空間条件に基づく。

提案手法

• 1つの速度成分 $u_3$ の $L^{q,1}$ ローレンツノルムに基づいて、適切な弱解のための新しい局所正則性基準を導出する。
• コンパクトネスの議論を用いて、局所基準をレイリー弱解のグローバル正則性へ拡張する。
• ローレンツ空間の技法とレベル集合分解を用いて、$u_3$ の時間的・空間的成長を制御する。
• 時間区間のダイアディック分解と最大関数の推定を用いて、放物型シリンダ上での $u_3$ の $L^p$ ノルムを評価する。
• 補助補題の証明において、調和関数の推定を用いて、圧力および速度勾配を制御する。
• 補間およびローレンツ空間埋め込み不等式を用いて、$L^{q,1}$ ノルムと $L^q$ ノルムの関係を確立し、臨界指数範囲を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ＝ストークス方程式の正則性に関するセリーン条件が、スケーリング不変な形で1つの速度成分のみを用いて達成可能か？
• RQ2 条件 $u_3 \in L^{q,1}(0,T;L^p(\mathbb{R}^3))$ かつ $rac{2}{q} + rac{3}{p} \leq 1$ および $3 < p < \infty$ が、レイリー弱解のグローバル正則性を保証するのに十分か？
• RQ3 正則性基準がナビエ＝ストークス方程式のスケーリングに対して不変でありながら、1つの速度成分に依存することができるか？
• RQ4 正則性を保証するための、1つの速度成分におけるローレンツ空間の鋭い条件は何か？

主な発見

• レイリー弱解 $u$ は、$rac{2}{q} + \frac{3}{p} \leq 1$ および $3 < p < \infty$ を満たすとき、$u_3 \in L^{q,1}(0,T;L^p(\mathbb{R}^3))$ ならば、$\mathbb{R}^3 \times (0,T)$ で正則である。
• この結果はスケーリング不変であり、$u^\lambda(x,t) = \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t)$ におけるナビエ＝ストークス方程式の臨界スケーリングと一致する。
• 証明は、ローレンツ空間 $L^{q,1}$ における $u_3$ を含む、適切な弱解のための新しい局所正則性基準に依存する。
• ローレンツ空間 $L^{q,1}$ は、スケーリング不変な条件を達成するために不可欠であり、標準的な $L^q$ 空間では、セリーン条件の全範囲をカバーできない。
• 従来の結果はスケーリング不変ではなかったり、より強い積分可能性条件（例：$rac{2}{q} + \frac{3}{p} < 1$ や高い $p$-閾値）を要請していたが、本結果はそれらを拡張する。
• 本結果は、1つの成分による完全なセリーン条件が正則性を保証するかどうかという長年の未解決問題を、端点 $rac{2}{q} + \frac{3}{p} = 1$ まで解決する。