[論文レビュー] Scaling of Lyapunov exponents in chaotic delay systems

Thomas Jüngling, Wolfgang Kinzel|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2012

Chaos control and synchronization被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、カオス的遅れ系における最大リャプノフ指数のスケーリング行動を調査し、カオス的系が、線形化方程式のゆらぎに起因して、周期的系とは異なった異常スケーリングを示すことを明らかにした。主な発見は、強カオスから弱カオスへの遷移付近におけるこれらの異常が、乗法的ノイズを有する線形遅れ系によって再現可能であり、遅れ正規化された指数が √τ または W(τ) とスケーリングすることによって、決定論的カオスと確率的ダイナミクスを結びつけることである。

ABSTRACT

The scaling behavior of the maximal Lyapunov exponent in chaotic systems with time-delayed feedback is investigated. For large delay times it has been shown that the delay-dependence of the exponent allows a distinction between strong and weak chaos, which are the analogy to strong and weak instability of periodic orbits in a delay system. We find significant differences between scaling of exponents in periodic or chaotic systems. We show that chaotic scaling is related to fluctuations in the linearized equations of motion. A linear delay system including multiplicative noise shows the same properties as the deterministic chaotic systems.

研究の動機と目的

• . 時間遅れ付きカオス的ダイナミカルシステムにおける最大リャプノフ指数のスケーリング行動を調査すること。
• . 周期的または定常状態系のスケーリングとカオス的スケーリングを区別すること。
• . 特に強カオスから弱カオスへの遷移におけるカオス的系の異常スケーリングの原因を特定すること。
• . 乗法的ノイズを有する線形遅れ系が、決定論的カオス的システムのスケーリング行動を再現できることを示すこと。
• . 線形化方程式の係数におけるゆらぎが、周期的系のスケーリング則からの逸脱を引き起こしていること。

提案手法

• . 時間遅れフィードバックを有する非線形力学系を用いる： ẋ = f(x) + K·xτ。
• . システムを線形化し、 ẟx = Df(x)·δx + K·δxτ を得る。ここで Df(x) は軌道に沿って評価されたヤコビアンである。
• . 最大リャプノフ指数を λ = lim_{t→∞} (1/(t−t₀)) ln∥δx(t)∥/∥δx(t₀)∥ として定義する。
• . 強カオス（λ₀ > 0）または弱カオス（λ₀ < 0）を決定する部分線形化 ẟx₀ = Df(x)·δx₀ からの副指数 λ₀ を導入する。
• . フロケアンザッツとランベルト W 関数を用いて、周期軌道のスケーリング則を解析的に導出する。λ(τ) の式を得る。
• . スキュー・ベルヌーイ写像モデルを用いて乗法的ノイズを導入し、パrameter r が線形化係数のゆらぎの強さを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . カオス的遅れ系において、最大リャプノフ指数は遅延時間 τ に対してどのようにスケーリングするか。また、周期的系とはどのように異なるか？
• RQ2 . 特に強カオスから弱カオスへの遷移付近で観察される異常スケーリング行動の原因は何か？
• RQ3 . 決定論的カオス的システムにおける異常スケーリングは、乗法的ノイズを有する線形遅れ系によって再現可能か？
• RQ4 . 線形化方程式の係数におけるゆらぎは、遅れ正規化リャプノフ指数 λτ のスケーリングにどのように影響するか？
• RQ5 . λ₀ = 0 の臨界定常領域における λτ の関数的形は何か。また、ノイズ強度にどのように依存するか？

主な発見

• . カオス的系では、遅延時間 τ に対する最大リャプノフ指数 λ のスケーリングが、周期的系とは顕著に異なる異常スケーリングを示す。
• . 強カオス（λ₀ > 0）では、λ は定数限界 λ₀ に近づき、λ − λ₀ は指数関数的に e^{-λ₀τ} として減衰する。
• . 弱カオス（λ₀ < 0）では、遅れ正規化指数 τλ(τ) は ˆµ = ln(−k/λ₀) に近づき、λ₀ → 0⁻ に伴い対数的に発散する。
• . 臨界点 λ₀ = 0 では、遅れ正規化指数は λτ ∝ W(kτ) とスケーリングする。ここで W はランベルト W 関数である。
• . スキュー・ベルヌーイ写像を用いて乗法的ノイズを導入すると、λ₀ = 0 におけるスケーリングは W(τ) から √τ に変化し、ゆらぎに起因する遷移を示す。
• . カオス的系における異常スケーリングは、乗法的ノイズを有する線形遅れ系によって完全に再現可能であり、係数のゆらぎが周期的系の振る舞いからの逸脱の根本的要因であることを確認した。