[論文レビュー] Scattering-like phenomena of the periodic defocusing NLS equation

Thomas Kappeler, B. Schaad+1 more|Zurich Open Repository and Archive (University of Zurich)|May 27, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、周期的非線形シュレーディンガー（NLS）方程式の解が、時間に一様に有界な近似誤差を伴って、高階のソボレフ空間におけるほぼ線形な流れによって近似可能であることを確立している。主な結果は、$H^N$ に属する初期データ（$N \geq 1$）に対して、真の解と非線形周波数で定義された流れとの差が $H^{N+1}$ で有界であり、$s \geq 1$ に対して $H^s$ における解のグローバル有界性を示している。周期的設定では真の散乱が存在しないにもかかわらず、散乱に類似した近似が得られる。

ABSTRACT

In this paper we prove approximation properties of the solutions of the defoucsing NLS equation on the circle by nearly linear flows. In addition we show that spatially periodic solutions of the defocusing NLS equation evolving in fractional Sobolev spaces $H^s$ with $s\geq 1$ remain bounded for all times.

研究の動機と目的

• 自己相互作用のため漸近的散乱が存在しない周期的設定における、周期的非焦点NLS方程式の解の長時間的挙動を理解すること。
• 初期データが $H^s$（$s \geq 1$）に属する場合、解がすべての時間で有界のまま保たれることを示すこと。これはグローバル適切性結果の拡張を目的とする。
• 解が非線形周波数 $\omega_n^{\rm NLS}$ で定義されたほぼ線形な流れによって近似可能であり、非線形力学の一部を捉えられることを示すこと。
• Birkhoff座標と周波数の漸近挙動を用いて、$s \geq 2$ の $H^s_r$ 上での流れ写像 $S^t$ の弱連続性を確立すること。

提案手法

• 非焦点NLS方程式を $\mathfrak{h}^s_r$ 上の作用角変数を用いたハミルトニアン系に変換するために、Birkhoff座標を用いる。
• NLSハミルトニアンを作用量 $I_n = z_1(n)\bar{z}_1(n)$ の実解析関数として表現し、時間発展が非線形周波数 $\omega_n^{\rm NLS} = \partial_{I_n}\mathcal{H}_{\rm NLS}$ によって支配されることを示す。
• 近似解 $v(x,t) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \hat{u}_0(n) e^{-i\omega_n^{\rm NLS} t} e^{2\pi i n x}$ を構成し、非線形周波数を用いたフーリエ基底におけるほぼ線形な流れを定義する。
• 周波数の漸近挙動とソボレフノルムの推移に関する推計を用いて、初期データが $H^N$ に属する場合に $\|u(t) - v(t)\|_{H^{N+1}}$ が時間に一様に有界であることを証明する。
• Rellichの定理と $\mathfrak{h}^s_r$ 上での弱収束を用いて、$s \geq 2$ の $H^s_r$ 上での流れ写像 $S^t$ の弱連続性を示す。
• 漸近展開 $\omega_n^{\rm NLS} = 4\pi^2 n^2 + O(1)$（$n \to \infty$）を用いて、真の流れと近似流れとの差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真の散乱が存在しないにもかかわらず、周期的非焦点NLS方程式の解がほぼ線形な流れによって近似可能かどうか。
• RQ2 $s \geq 1$ の $H^s$ に属する解が、周期的設定下でもすべての時間で有界に保たれるかどうか。
• RQ3 非線形周波数 $\omega_n^{\rm NLS}$ が長時間の力学的挙動と近似の質に与える影響は何か。
• RQ4 流れ写像 $S^t$ が $s \geq 2$ の $H^s_r$ 上で弱連続であるかどうか、そしてその条件は何か。
• RQ5 真の解と $\omega_n^{\rm NLS}$ で定義された近似流れとの間の定量的誤差は、高階ソボレフノルムでどのように評価できるか。

主な発見

• 任意の初期データ $u_0 \in H^N$（$N \geq 1$）に対して、差 $\|u(t) - v(t)\|_{H^{N+1}}$ は時間に一様に有界であり、その有界性定数は $u_0$ の $H^N$ ノルムにのみ依存する。
• 周期的非焦点NLS方程式の解は、$s \geq 1$ ならばすべての $t \in \mathbb{R}$ に対して $H^s$ で有界であり、$H^s$ 上の有界集合上で一様な有界性が保たれる。
• 非線形周波数による近似解 $v(x,t) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \hat{u}_0(n) e^{-i\omega_n^{\rm NLS} t} e^{2\pi i n x}$ は、周波数変調によって非線形力学を捉えている。
• 真の解 $u(t)$ と近似流れ $v(t)$ の間の誤差は、$\sup_{t\in\mathbb{R}} \|u(t) - v(t)\|_{H^{N+1}} \leq C$ を満たし、$C$ は $H^N$ 上の有界集合上で一様である。
• 流れ写像 $S^t: H^s_r \to H^s_r$ は $s \geq 2$ に対して弱連続であり、Birkhoff座標空間における弱収束と周波数の連続性を用いて確立された。
• 定数周波数 $\tilde{\omega}_n = 4\pi^2 n^2 + 4\int |u_0|^2 dx$ を用いた単純化された近似流れ $w(x,t)$ との差は、時間に比例して増大し、$H^{N+1}$ で $C_2 |t| \|u_0\|_{H^N}$ に比例する上界を持つ。