[論文レビュー] Scattering Matrix in Conformal Geometry

C. Robin Graham, Maciej Zworski|ArXiv.org|Sep 14, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、漸近的にアインシュタイン的で共形的コンパクトな多様体上の散乱行列と、その境界上の共形的に不変な微分作用素の間の明確な対応関係を確立する。散乱行列の $ s = n/2 + k $ における留数が共形的に不変なラプラシアンのべき $ P_k $ を与え、偶数次元では値 $ S(n)1 $ が $ Q $-曲率を与えることにより、この重要な共形的不変量のスペクトル的定義が得られる。

ABSTRACT

This paper describes the connection between scattering matrices on conformally compact asymptotically Einstein manifolds and conformally invariant objects on their boundaries at infinity. The conformally invariant powers of the Laplacian arise as residues of the scattering matrix and Branson's Q-curvature in even dimensions as a limiting value. The integrated Q-curvature is shown to equal a multiple of the coefficient of the logarithmic term in the renormalized volume expansion.

研究の動機と目的

• 共形的コンパクトなアインシュタイン的多様体上の散乱行列とその境界上の共形的不変量との間のスペクトル的対応関係を確立すること。
• 偶数次元における $ s = n $ における散乱行列を用いた $ Q $-曲率の新たな特徴付けを提供すること。
• 従来、小さな $ k $ の場合にのみ知られていた共形的に不変な作用素 $ P_k $ の自己随伴性を証明すること。
• 解析接続と留数解析を用いて、散乱行列が共形幾何学において果たす役割を明確にすること。

提案手法

• Poincaré計量 $ g $ を、$ n $ が奇数のとき $ \text{Ric}(g) + ng = \mathcal{O}(x^\infty) $、$ n $ が偶数のとき $ \mathcal{O}(x^{n-2}) $ を満たす漸近的にアインシュタイン的で共形的コンパクトな計量と定義し、漸近的偶関数性の条件を課す。
• 境界 $ M $ 上の擬微分作用素のメロモルフィック族として散乱行列 $ S(s) $ を構成し、方程式 $ (\Delta_g - s(n-s))u = 0 $ の解から導出する。
• 解 $ u_s $ の無限遠近傍における漸近展開を $ x^{n-s} $、$ x^s $、および $ S(s)1 $ を用いて表し、係数には曲率不変量を含める。
• 境界付近の積構造を用いて、$ \int_{\epsilon < x < x_0} (|du_s|^2 - s(n-s)u_s^2) dv_g $ の振る舞いを $ s \to n $ のとき有限部積分法で解析する。
• 解 $ u_s $ の既知の展開と留数解析を用いて、有限部の極限を $ Q $-曲率と関連づける。特に $ x^s S(s)1 $ 項に注目する。
• 有限部のエネルギー積分の極限を評価し、$ c_{n/2} Q = S(n)1 $ という重要な恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的にアインシュタイン的多様体上の散乱行列は、その境界上の共形的不変量とどのように関係しているか？
• RQ2 偶数次元における $ Q $-曲率は散乱行列を用いて定義可能か？
• RQ3 散乱行列の極が共形的に不変な作用素と関係するスペクトル的意義は何か？
• RQ4 散乱行列は境界多様体の共形幾何学をどのように符号化しているか？

主な発見

• 散乱行列 $ S(s) $ は $ s = n/2 + k $ に単純極を持ち、その留数は共形的に不変な作用素 $ P_k $ に比例し、定数は $ c_k = (-1)^k (2^{2k} k! (k-1)!)^{-1} $ である。
• 共形的に不変な作用素 $ P_k $ は自己随伴である。これは従来、小さな $ k $ の場合にのみ知られていた結果である。
• $ n $ が偶数のとき、値 $ S(n)1 $ は $ c_{n/2} Q $ に等しく、これにより散乱行列を用いた $ Q $-曲率のスペクトル的定義が得られる。
• $ Q $-曲率は、解 $ u_s $ の漸近展開における $ x^s $ 項の係数として現れ、$ c_{n/2} $ が正規化定数として機能する。
• 有限部のエネルギー積分 $ \int (|du_s|^2 - s(n-s)u_s^2) dv_g $ は $ s \to n $ のとき $ -nL/2 $ に収束し、散乱データと境界の $ Q $-曲率を結びつける。
• 極限 $ s \to n $ において、有限部の積分に寄与するのは $ Q $-曲率の項のみであり、これは $ x^{-1} $ の特異性と $ c_{n/2,s} $ の留数構造のおかげである。