[論文レビュー] Scheduling with a Limited Testing Budget

Christoph Damerius, Peter Kling+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Optimization and Search Problems被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、テストジョブがジョブ固有のコストで処理時間を短縮するが、テスト予算が制限される状況におけるスケジューリングを検討している。オフライン（下界が既知）およびオブlivious（下界が未知）の両設定下で、合計完了時間とマックススパンの最適化を扱う。オフライン設定では合計完了時間のためのPTASを、新規のLPラウンディングスキームを用いて提案。オブlivious設定では合計完了時間のための(4+ϵ)-competitiveなアルゴリズム、オフライン設定のマックススパンのためのFPTAS、オブlivious設定のマックススパンのための(2+ϵ)-competitiveなアルゴリズムを提案。すべてのアルゴリズムに対して、最適性を示す一致する下界を確立している。

ABSTRACT

Scheduling with testing falls under the umbrella of the research on optimization with explorable uncertainty. In this model, each job has an upper limit on its processing time that can be decreased to a lower limit (possibly unknown) by some preliminary action (testing). Recently, D{ü}rr et al. \cite{DBLP:journals/algorithmica/DurrEMM20} has studied a setting where testing a job takes a unit time, and the goal is to minimize total completion time or makespan on a single machine. In this paper, we extend their problem to the budget setting in which each test consumes a job-specific cost, and we require that the total testing cost cannot exceed a given budget. We consider the offline variant (the lower processing time is known) and the oblivious variant (the lower processing time is unknown) and aim to minimize the total completion time or makespan on a single machine. For the total completion time objective, we show NP-hardness and derive a PTAS for the offline variant based on a novel LP rounding scheme. We give a $(4+ε)$-competitive algorithm for the oblivious variant based on a framework inspired by the worst-case lower-bound instance. For the makespan objective, we give an FPTAS for the offline variant and a $(2+ε)$-competitive algorithm for the oblivious variant. Our algorithms for the oblivious variants under both objectives run in time $O(poly(n/ε))$. Lastly, we show that our results are essentially optimal by providing matching lower bounds.

研究の動機と目的

• テストジョブがジョブ固有のコストで処理時間を短縮するが、固定された予算制約下で、スケジューリング問題を扱う。
• 下界が既知（オフライン）または未知（オブlivious）の場合に、単一マシン上で合計完了時間とマックススパンを最小化する。
• 両設定下で、両目的のための効率的な近似および競合的アルゴリズムを開発する。
• 提案されたアルゴリズムの最適性を示すために、タイトな下界を確立する。

提案手法

• オフライン合計完了時間問題のPTASを達成するため、新規のLPラウンディングスキームを提案。
• 最悪ケース下界インスタンスにインspiredされたフレームワークを用いて、オブlivious合計完了時間問題の(4+ϵ)-competitiveな決定的アルゴリズムを設計。
• 離散化されたインスタンスにおける動的計画法を活用して、オフラインマックススパン目的のためのFPTASを開発。
• 補助インスタンスと(1+ϵ)-近似ソルバーを用いて、オブliviousマックススパン目的のための(2+ϵ)-competitiveなアルゴリズムを導入。
• 競合的比の境界を示すために、最悪ケースインスタンスへの変換を用い、最適解とアルゴリズム解の構造的性質に依存。
• 敵対的構成を用いて一致する下界を確立し、すべての近似および競合的比のタイトネスを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 予算付きテストモデルを伴うオフライン合計完了時間問題は、効率的に近似可能か？ また、達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ2 オブlivious合計完了時間問題に対して、決定的オンラインアルゴリズムが達成可能な最良の競合的比は何か？
• RQ3 予算付きテストモデル下でのオフラインマックススパン最小化問題にFPTASは存在するか？
• RQ4 オブliviousマックススパン問題に対して(2+ϵ)-competitiveなアルゴリズムを設計可能か？ また、この比はタイトか？
• RQ5 提案された近似および競合的比は最適であり、一致する下界によりそれが証明可能か？

主な発見

• 制限されたテスト予算を伴うオフライン合計完了時間問題は、すべての下界がゼロであってもNP困難である。
• 新規のLPラウンディングスキームを用いて、オフライン合計完了時間問題のためのPTASを達成した。
• オブlivious合計完了時間問題のための(4+ϵ)-competitiveな決定的アルゴリズムを提案した。
• オフラインマックススパン最小化問題のためのFPTASを設計した。
• オブliviousマックススパン問題のための(2+ϵ)-competitiveなアルゴリズムを開発した。実行時間はO(poly(n/ϵ))であった。
• 一致する下界を確立し、提案されたすべての近似および競合的比が本質的に最適であることを証明した。