[論文レビュー] Schrödinger model and Stratonovich-Weyl correspondence for Heisenberg motion groups

Benjamin Cahen|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、一般化されたセガール＝バーグマン変換を用いてシュレーディンガー模型を構成し、通常のウェイの微積分と組み合わせることで、ハイゼンベルク運動群のユニタリ非可約表現に対するストラトノビッチ＝ウェイ対応を確立する。主な結果は、ウェイ対応がシュレーディンガー模型上でストラトノビッチ＝ウェイ対応を誘導することであり、これはユニタリ同値性によりフォーク模型対応と同等であることが示される。

ABSTRACT

We introduce a Schrödinger model for the unitai'y irreducible representations of a Heisenberg motion group and we show that the usual Weyl quantization then provides a Stratonovich-Weyl correspondence.

研究の動機と目的

• ハイゼンベルク群からのストラトノビッチ＝ウェイ対応をハイゼンベルク運動群へ拡張すること。
• 一般化されたセガール＝バーグマン変換を用いて、ハイゼンベルク運動群のユニタリ非可約表現のシュレーディンガー模型を構成すること。
• 標準的ウェイ対応がシュレーディンガー模型においてストラトノビッチ＝ウェイ対応を導くことを示すこと。
• フォーク模型からベレジン微積分を用いて導かれた対応と、シュレーディンガー模型における対応を比較すること。
• 一般化されたセガール＝バーグマン変換を通じて、二つの対応のユニタリ同値性を確立すること。

提案手法

• ハイゼンベルク群 Hn とコン pact 部分群 K ⊂ U(n) の半直積としてハイゼンベルク運動群を構成する。
• 正則誘導を用いて、標準的フォーク模型を拡張した一般化されたフォーク空間にユニタリ非可約表現を実現する。
• フォーク模型と L2(Rn, V) 上のシュレーディンガー模型との間の関係を示すために、一般化されたセガール＝バーグマン変換を導入する。
• K-軌道 o(ϕ0) 上のベレジン理論からの記号微積分と標準的ウェイ微積分を組み合わせることで、R2n × o(ϕ0) 上に修正されたウェイ微積分を定義する。
• ベレジン微積分におけるユニタリ部 w の逆元を含む一般化されたウェイ積分公式を用いて、L2(Rn, V) 上の作用素 W(f) を定義する。
• 変換 Φ と作用素 J を通じて、シュレーディンガー模型とフォーク模型の間のユニタリ同値性を確立し、ストラトノビッチ＝ウェイ対応の移行を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイゼンベルク運動群のシュレーディンガー模型に対してストラトノビッチ＝ウェイ対応を構成できるか？
• RQ2 シュレーディンガー模型におけるウェイ対応と、フォーク模型におけるベレジン微積分に基づく対応の関係は何か？
• RQ3 シュレーディンガー模型におけるウェイ対応は群作用に関して共変的で、トレースを保存するか？
• RQ4 シュレーディンガー模型とフォーク模型におけるストラトノビッチ＝ウェイ対応の正確な関係は何か？
• RQ5 一般化されたセガール＝バーグマン変換を用いて、二つの模型を関連づけ、対応を移行させることができるか？

主な発見

• シュレーディンガー模型 L2(Rn, V) 上のウェイ対応は、ハイゼンベルク運動群 G に対してストラトノビッチ＝ウェイ対応を誘導し、共変性とトレース性を満たす。
• 写像 W−1 が (G, σ, R2n × o(ϕ0)) に対してストラトノビッチ＝ウェイ対応であることが示され、λ, Tr(A), および A による j(p,q) への作用を用いた dσ(X) の記号の明示的公式が得られる。
• O(ϕ0) 上で W′1 = τΨW−1 は (G, σ, O(ϕ0)) に対してストラトノビッチ＝ウェイ対応であり、W′2 = τΦU は (G, π, O(ϕ0)) に対してもそうである。
• 二つの対応はユニタリ同値である：W′1 = W′2IB であり、IB はフォーク模型とシュレーディンガー模型の間のユニタリ相互作用子である。
• 既知のハイゼンベルク群およびダイヤモンド群の結果を一般化し、より広いクラスの準ヒルベルトLie群へのウェイ対応の拡張を実現する。
• ウェイ微積分と K-軌道上でのベレジン微積分の組み合わせが、シュレーディンガー表現において一貫的かつ共変的な量子化写像をもたらすことが確認された。