[論文レビュー] Schrodinger revisited: the role of Dirac's 'standard' ket in the algebraic approach

M. R. Brown, B. J. Hiley|arXiv (Cornell University)|May 4, 2000

Quantum Mechanics and Applications被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ディラックの形式主義を用いて、シュレーディンガー方程式を表現に依存しない代数的形に再定式化し、それをコ commutator を含むリウヴィル型方程式と、反交換関係を含む位相進化方程式に分離する。主な貢献は、反交換関係方程式がエネルギー保存則を支配し、アハロノフ＝ボーム効果、アハロノフ＝カッシャー効果、ベリー位相効果を統一的に理解する代数的枠組みを提供することであり、非可換構造を用いて任意の表現におけるド・ブロイ＝ボーム力学を可能にすることである。

ABSTRACT

We follow Dirac and write the Schrodinger equation in an algebraic form which is representation-free. The imaginary and real parts of this equation are respectively the Liouville equation, which involves the commutator of the Hamiltonian with the density operator and an equation for the time development of the phase operator that involves the anti-commutator of the Hamiltonian with the density operator. We show this latter equation plays two important roles: (i) it expresses the conservation of energy in a system where energy is well defined and (ii) it provides a simple way to evaluate the gauge changes that occur in the Aharonov-Bohm, the Aharonov-Casher, and Berry phase effects. Both these operator (i.e. purely algebraic) equations also allow us to re-examine the Bohm interpretation, showing that it is in fact possible to construct Bohm interpretations in representations other than the $x$-representation. We discuss the meaning of the Bohm interpretation in the light of these new results in terms of non-commutative structures and this enables us to clarify its relation to standard quantum mechanics.

研究の動機と目的

• ディラックのケット記法を用いて、シュレーディンガー方程式を表現に依存しない代数的形に再定式化すること。
• 位相演算子の時間発展における反交換関係項の役割とその物理的意義を特定すること。
• この代数的構造が、x表現を超えた一貫性のあるド・ブロイ＝ボーム解釈を可能にすることを示すこと。
• 非可換演算子構造を通じて、ド・ブロイ＝ボーム力学と標準的量子力学との間の基礎的関係を明確にすること。

提案手法

• ディラックのケット記法を用いて、シュレーディンガー方程式を代数的・表現に依存しない形に表現すること。
• 複素方程式を実部と虚部に分解し、交換関係（リウヴィル型）を含む方程式と反交換関係を含む方程式の2つに分離すること。
• 反交換関係方程式を、エネルギー保存を保証する形で位相演算子の時間発展を記述するものとして解釈すること。
• 反交換関係方程式を用いて、波動関数やポテンシャルに言及せずに、アハロノフ＝ボーム効果、アハロノフ＝カッシャー効果、ベリー位相効果を純粋に代数的に行い、統一的に分析すること。
• 同じ代数的枠組みを用いてド・ブロイ＝ボーム解釈を再表現し、位置表現以外の表現においても一貫性があることを示すこと。
• 非可換演算子代数を用いて、ド・ブロイ＝ボーム力学と標準的量子力学との間の基礎的関係を明確にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてディラックの形式主義を用いて、シュレーディンガー方程式を表現に依存しない代数的形に再定式化できるか？
• RQ2 位相演算子の時間発展における反交換関係項の物理的役割は何か？
• RQ3 反交換関係方程式が、アハロノフ＝ボーム効果、アハロノフ＝カッシャー効果、ベリー位相効果を統一的に記述する仕組みは何か？
• RQ4 この代数的アプローチを用いて、x表現以外の表現においてもド・ブロイ＝ボーム解釈を一貫して定式化できるか？
• RQ5 非可換演算子構造を通して見た場合、ド・ブロイ＝ボーム力学と標準的量子力学との間の基礎的関係は何か？

主な発見

• 代数的シュレーディンガー方程式の虚部から、密度演算子の時間発展をハミルトニアンとの交換関係で記述するリウヴィル方程式が得られる。
• 方程式の実部から、ハミルトニアンと密度演算子の反交換関係を含む、位相演算子の時間発展方程式が得られる。
• この反交換関係方程式は、エネルギーが明確に定義された系においてエネルギー保存を保証し、反交換関係が根本的な代数的役割を果たすことを示している。
• 反交換関係方程式は、波動関数やポテンシャルに言及せずに、アハロノフ＝ボーム効果、アハロノフ＝カッシャー効果、ベリー位相効果を統一的かつ演算子論的に行う記述を可能にする。
• 本論文は、この代数的枠組みを用いて、ド・ブロイ＝ボーム解釈がx表現以外の表現においても一貫して定式化可能であることを示している。
• 代数的形式主義の非可換構造は、ド・ブロイ＝ボーム力学と標準的量子力学との関係を明確にし、演算子代数を通じて両者の整合性を示している。