[論文レビュー] Scrambling and Complexity in Phase Space

Quntao Zhuang, Thomas Schuster+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2019

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無限次元の位相空間における量子情報スクラッチングを特徴付けるために、位相変位演算子に基づく連続変数（CV）の時序外相関関数（OTOC）を導入する。本研究では、単一モード内と複数モード間の2種類の異なるスクラッチングのタイプを特定し、新しいフレームポテンシャルを用いてユニタリ設計のCVアナログを確立する。ランダムなガウス回路がバタフライ速度、成長指数、拡散定数に従う流体力学的演算子拡散を示すことを示している。

ABSTRACT

The study of information scrambling in many-body systems has sharpened our understanding of quantum chaos, complexity and gravity. Here, we extend the framework for exploring information scrambling to infinite dimensional continuous variable (CV) systems. Unlike their discrete variable cousins, continuous variable systems exhibit two complementary domains of information scrambling: i) scrambling in the phase space of a single mode and ii) scrambling across multiple modes of a many-body system. Moreover, for each of these domains, we identify two distinct `types' of scrambling; genuine scrambling, where an initial operator localized in phase space spreads out and quasi scrambling, where a local ensemble of operators distorts but the overall phase space volume remains fixed. To characterize these behaviors, we introduce a CV out-of-time-order correlation (OTOC) function based upon displacement operators and offer a number of results regarding the CV analog for unitary designs. Finally, we investigate operator spreading and entanglement growth in random local Gaussian circuits; to explain the observed behavior, we propose a simple hydrodynamical model that relates the butterfly velocity, the growth exponent and the diffusion constant. Experimental realizations of continuous variable scrambling as well as its characterization using CV OTOCs will be discussed.

研究の動機と目的

• 離散変数（DV）系から無限次元ヒルベルト空間を有する連続変数（CV）系への量子情報スクラッチングの枠組みの拡張を目的とする。
• CV系における2つの明確に異なるスクラッチング領域、すなわち単一モード内での位相空間スクラッチングと複数モード間のスクラッチングの特定と特徴付けを目的とする。
• 演算子拡散と複雑性の診断に用いるために、位相変位演算子を用いたCVアナログの時序外相関関数（OTOC）の開発を目的とする。
• 連続変数ユニタリ $k$-デザインのための新しいフレームポテンシャルを導入し、CV操作の集合がハール測度にどの程度近いかを特徴付ける。
• バタフライ速度、成長指数、拡散定数を結びつける流体力学的モデルを通じて、ランダム局所ガウス回路における演算子拡散とエンタングルメント成長を説明することを目的とする。

提案手法

• 位相変位演算子を用いたCV OTOCを提案し、離散変数（DV）OTOC枠組みを連続自由度へ一般化して、位相空間におけるスクラッチングを定量化する。
• 密度行列 $\rho$ と射影演算子 $P_k$ を用いて、$2k$ 個の複製ヒルベルト空間上での内積を定義することで、CV系における新しいフレームポテンシャルを導入し、ハール確率性からの逸脱を測定する。
• フレームポテンシャル $\mathcal{J}_{\mathcal{E}}^{(k)}(\rho)$ の下界を導出し、その下限に達することがCV $k$-デザイン（$\rho$ に関して）であることを示す。
• フレームポテンシャルを、平均光子数 $n_{\text{th}}$ の熱状態 $\tilde{\rho}_{n_{\text{th}}}$ 上の位相変位演算子の集合 $\mathbb{D}_n$ に適用し、$n \to \infty$ の極限でCV 1-デザインとなることを示した。
• ランダムガウス回路における演算子拡散を記述する流体力学的モデルを構築し、バタフライ速度 $v_B$、成長指数 $\lambda$、拡散定数 $D$ の間で $v_B \sim \sqrt{\lambda D}$ の関係が成り立つことを示した。
• フレームポテンシャルとOTOCを用いて、位相空間における真のスクラッチング（演算子拡散）と準スクラッチング（体積保存的歪み）を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続変数系における量子情報スクラッチングは、離散変数の枠組みを超えて、どのように定量的に診断できるか？
• RQ2 CV系における2つの明確に異なるスクラッチング領域、すなわち単一モード内と複数モード間のスクラッチングは何か。それらの動的シグネチャはどのように異なるか？
• RQ3 ユニタリ設計の概念を連続変数系に一般化するにはどうすればよいか。新しいフレームポテンシャルはこの一般化において果たす役割は何か？
• RQ4 ランダム局所ガウス回路における演算子拡散とエンタングルメント成長を支配する流体力学的パrameterは何か？
• RQ5 位相変位演算子集合 $\mathbb{D}_n$ が熱状態上ですべてのCV 1-デザインにどの程度近づくか。これは $n$ と $n_{\text{th}}$ に依存するか？

主な発見

• 提案された位相変位演算子に基づくCV OTOCは、位相空間における真のスクラッチング（演算子拡散）と準スクラッチング（体積保存的歪み）の両方を的確に捉えている。
• 平均光子数 $n_{\text{th}}$ の熱状態上での集合 $\mathbb{D}_n$ に対して、CV 1-フレームポテンシャル $\mathcal{J}_{\mathbb{D}_n}^{(1)}(\tilde{\rho}_{n_{\text{th}}})$ は $n \gtrsim n_{\text{th}}$ のとき漸近的に1に達し、$\lim_{n\to\infty}\mathbb{D}_n$ がCV 1-デザインであることを確認した。
• $n \ll n_{\text{th}}$ の極限ではフレームポテンシャルは $(n_{\text{th}}/n)^N$ のようにスケーリングし、ハール確率性からの近似が悪いことが示され、$n \gg n_{\text{th}}$ のときには代数的に1に近づく。
• ランダムガウス回路から導かれた流体力学的モデルは、バタフライ速度 $v_B$、成長指数 $\lambda$、拡散定数 $D$ の間に普遍的な関係 $v_B \sim \sqrt{\lambda D}$ が成り立つと予測している。
• フレームポテンシャルは、CV集合がハール測度にどの程度近いかを定量的に測る指標であり、下限 $\mathcal{H}^{(k)}(\rho)^{-1}$ に達することがCV $k$-デザインを示す。
• 本研究は、OTOC診断、フレームポテンシャル、流体力学的モデリングを含む、CVスクラッチングの包括的な理論枠組みを確立した。この枠組みは、量子光物理学や回路QEDなどの実験的プラットフォームにおいて直接的な関連性を持つ。