[論文レビュー] Search for CAC-integrable homogeneous quadratic triplets of quad equations and their classification by BT and Lax

Jarmo Hietarinta|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2018

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、対称性および四面体性の仮定を緩和することで、3次元格子上の CAC-可積分な同次二次三重項を分類する。Bäcklund 変換および Lax 対解析を用いて、すべての such 三重項を同定し、ゲージ変換およびパrameter化を通じて既知の ABS リスト方程式 Q1(δ=0) および Q3(δ=0) を回復することで、対称性制約なしに多次元一致性を持つ二次格子方程式の体系的分類を完了する。

ABSTRACT

We consider two-dimensional lattice equations defined on an elementary square of the Cartesian lattice and depending on the variables at the corners of the quadrilateral. For such equations the property often associated with integrability is that of "multidimensional consistency" (MDC): it should be possible to extend the equation from two to higher dimensions so that the embedded two-dimensional lattice equations are compatible. Usually compatibility is checked using "Consistency-Around-a-Cube" (CAC). In this context it is often assumed that the equations on the six sides of the cube are the same (up to lattice parameters), but this assumption was relaxed in the classification of Boll \cite{Boll2011}. We present here the results of a search and classification of homogeneous quadratic triplets of multidimensionally consistent lattice equations, allowing different equations on the three orthogonal planes (hence triplets) but using the same equation on parallel planes. No assumptions are made about symmetry or tetrahedron property. The results are then grouped by subset/limit properties, and analyzed by the effectiveness of their Bäcklund transformations, or equivalently, by the quality of their Lax pair (fake or not).

研究の動機と目的

• 3次元格子上の CAC-可積分な同次二次三重項を、対称性や四面体性の仮定をしないで分類すること。
• ABS リストを超える分類を実現し、平行な平面に異なる方程式を許容しつつも立方体回りの一貫性を保つこと。
• Bäcklund 変換および Lax 対の品質（真正の Lax 対と偽物の Lax 対を区別する）を用いて、解の可積分性を分析すること。
• 多次元一貫性の下で二次方程式のパラメータ空間を体系的に探索し、すべての可能な一貫性のある構成を同定すること。

提案手法

• 立方体の頂点に変数を設定し、3つの直交する平面にそれぞれアフィン線形で、既約で、同次の二次形式を用いて方程式を定義する。
• 3次元格子全体での整合性を保証するため、立方体回りの整合性（CAC）条件を適用し、解の整合的伝播を確保する。
• ゲージ変換を用いて方程式の一般形を単純化し、余分なパラメータを除去する。
• Bäcklund 変換および Lax 対構成を用いて、可積分性の質を評価し、偽物の Lax 対を検出する。
• 係数関数 c(α) の構造に基づいて解を分類し、c(α) = εα の場合（Q1(δ=0) に至る）と c(α) ∝ α/(α²−1) の場合（Q3(δ=0) に至る）を区別する。
• REDUCE コンピュータ代数システムを用いて記号計算を実行し、整合性条件および解の形を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性や四面体性の仮定をしない場合、3次元格子上の同次二次三重項の方程式は、どのようないくつかの CAC-可積分性を示すか？
• RQ2 この文脈において、Bäcklund 変換および Lax 対構造は、真正の可積分系と非可積分系をどのように区別するか？
• RQ3 標準的な ABS 分類の仮定を緩和することで、どのような完全な解の族が生じるか？
• RQ4 係数関数 c(α) の異なる形は、Q1(δ=0) や Q3(δ=0) のような既知の方程式にどのように至るか？
• RQ5 同一平面に同じ方程式を仮定しないで分類を完了できるか。また、どのような新しい解が生じるか？

主な発見

• 分類により2つの主要な族が得られ、それぞれ Q1(δ=0) および Q3(δ=0) に対応し、ゲージ変換およびパrameter再定義により回復された。
• 解 {63,63,63}-1 はゲージ変換の後、Q1(δ=0) に対応し、方程式形式は (q−p)(xŵx̃ + ŷx̃x) − q(xŷ + ŷx̃x) + p(x x̃ + ŷx̃x) = 0 である。
• 解 {63,63,63}-2 は Q3(δ=0) に対応し、方程式は (q²−p²)(xŵx̃ + ŷx̃x) − p(q²−1)(xŷ + ŷx̃x) + (p²−1)q(x x̃ + ŷx̃x) = 0 である。
• Q1 と Q3 の違いは、係数関数 c(α) の因数分解性に起因し、c(α) = εα の場合 Q1 に、c(α) ∝ α/(α²−1) の場合 Q3 に至る。
• 本稿は、対称性や四面体性の仮定なしに、ABS リスト方程式が一般分類の特別な場合として回復されることを確認した。
• 解析により、c(α) の構造を用いて偽物の Lax 対を同定でき、真正の Lax 対のみが一貫性のある可積分系を導くことが示された。