[論文レビュー] Second moments and the bias conjecture for the family of cubic pencils

Matija Kazalicki, Bartosz Naskręcki|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ \deg P, \deg Q \leq 3 $ である1パラメータ族の立方曲線束 $ \mathcal{F}_k: y^2 = P(x)k + Q(x) $ の第二モーメント和 $ M_{2,p}(\mathcal{F}_k) $ に対して明示的な公式を提示し、これを genus 2 曲線上の点数に帰着させる。Sato-Tate予想を仮定すると、著者らはバイアス予想を証明する——すなわち、漸近展開における非ゼロの下位項の平均が負であることを示す。

ABSTRACT

For a 1-parametric family $E_k$ of elliptic curves over $\mathbb{Q}$ and a prime $p$, consider the second moment sum $M_{2,p}(E_k)=\sum_{k \in \mathbb{F}_p} a_{k,p}^2$, where $a_{k,p}=p+1-\#E_k(\mathbb{F}_p)$. Inspired by Rosen and Silverman's proof of Nagao conjecture which relates the first moment of a rational elliptic surface to the rank of Mordell-Weil group of the corresponding elliptic curve, S. J. Miller initiated the study of the asymptotic expansion of $M_{2,p}(E_k)=p^2+O(p^{3/2})$ (which by the work of Deligne and Michel has cohomological interpretation). He conjectured that, similar to the first moment case, the largest lower-order term that does not average to 0 has a negative bias. In this paper, we provide an explicit formula for the second moment $M_{2,p}(\mathcal{E}_{U})$ of $$ \mathcal{E}_{U}:y^2=P(x)U+Q(x), $$ where $ extrm{deg } P(x), extrm{deg } Q(x)\leq 3$. For a generic choice of polynomials $P(x)$ and $Q(x)$ this formula is expressed in terms of the point count of a certain genus two curve. As an application, we prove that the Bias conjecture holds for the pencil of the cubics $\mathcal{E}_U$.

研究の動機と目的

• 有限体 $ \mathbb{F}_p $ 上の1パラメータ族の立方曲線束に対する第二モーメント和 $ M_{2,p}(\mathcal{F}_k) $ の明示的公式を導出すること。
• モチーフ的分解を用いて第二モーメントを、$ \mathrm{Sym}^2 \mathcal{F}_\ell $ 上のフロベニウスのトレースに関連付けること。
• 第二モーメントの漸近的挙動を調査し、平均化されない主要な下位項を同定すること。
• genus 2 曲線のSato-Tate予想を仮定したもとで、立方曲線束に対するバイアス予想を証明すること。
• 関連するカミーフォールドの幾何的性質に基づいて場合分けを行い、族が定数 $ j $-不変量を持つ条件を同定すること。

提案手法

• $ \ell $-進コホロロジーを用いたモチーフ的分解により、第二モーメントを $ \mathrm{Sym}^2 \mathcal{F}_\ell $ 上のフロベニウスのトレースに関連付ける。
• 第二モーメントを立方曲線束の判別式によって定義されるカミーフォールド上の点数に還元する。
• カミーフォールドの既約成分への明示的分解を計算し、genus 2 曲線や円錐曲線を含む。
• genus 2 曲線のSato-Tate予想を応用し、フロベニウストレースの分布を分析し、バイアス挙動を導出する。
• Gröbner基底やMAGMAを用いた代数幾何学的ツールを用い、$ P(x) $ と $ Q(x) $ の次数および根構造に基づいて場合分けを行う。
• 族の $ j $-不変量を特定し、それが定数となる条件を同定し、$ j = 0 $ または $ j = 12^3 $ のみが可能であることを示す（$ P $ と $ Q $ が比例する場合を除く）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $ \mathbb{F}_p $ 上の1パラメータ族の立方曲線束に対する第二モーメント和 $ M_{2,p}(\mathcal{F}_k) $ の明示的公式は何か？
• RQ2 第二モーメントは、genus 2 曲線や円錐曲線の点数といった幾何的不変量にどのように分解されるか？
• RQ3 第二モーメントの漸近展開において、非ゼロのバイアスが現れる条件は何か？
• RQ4 genus 2 曲線のSato-Tate予想が、この族に対するバイアス予想の証明において果たす役割は何か？
• RQ5 族 $ \mathcal{F}_k $ の $ j $-不変量が定数であるのはどのような場合か？ その第二モーメントへの影響は何か？

主な発見

• 一般の立方曲線束に対して、第二モーメント $ \widetilde{M}_{2,p}(\mathcal{F}) $ は $ 2p^2 + p\left(-\left(\frac{-3}{p}\right) - \left(\frac{-35}{p}\right) - 1 - \mu_1(p) - \mu_2(p) + \mu_3(p)\right) $ で与えられ、$ \mu_i(p) $ は $ \mathbb{F}_p $ 上の特定の多項式の根の個数を数える。
• $ j $-不変量が 0 で、非最小特異点をもたない族に対しては、第二モーメントは $ \widetilde{M}_{2,p} = p^2\left(2 + \left(\frac{-3}{p}\right)\right) - 1 - \left(\frac{-3}{p}\right) $ であり、負のバイアス $ -1 $ が確認される。
• genus 2 曲線のSato-Tate予想を仮定すると、バイアス予想は立方曲線束の族に対して成り立つ。これは、最大の平均化されない下位項が平均して負であるためである。
• 曲線 $ y^2 = P(x)k + Q(x) $ の $ j $-不変量が定数であるのは、$ j = 0 $、$ j = 12^3 $、または $ P $ と $ Q $ が比例する場合に限られる。
• 第二モーメントのモチーフ的分解は、カミーフォールドの幾何的性質によって支配され、判別式および根構造に応じて、genus 0、1、2 の成分に分解される。
• 非最小モデルの場合、特異点が存在するため、主項が $ 2p^2 $ となり、Michelの境界から逸脱する可能性がある。