[論文レビュー] Second Order Backward Stochastic Differential Equations with Continuous Coefficient

Dylan Possamaï|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、2階の後向きストキャスティック微分方程式（2BSDEs）の理論を拡張し、zに関してリプシッツ連続で、yに関して一様連続かつ線形成長を示す生成子について、存在および一意性を確立する。従来の研究で用いられたyに関する厳密なリプシッツ条件を緩和する。主な貢献は、yに関する単調性条件の下で、きわめて頑健な存在および一意性の結果を提示することであり、2BSDEフレームワーク固有の特徴的な課題を浮き彫りにしている。

ABSTRACT

In a recent paper, Soner, Touzi and Zhang [20] have introduced a notion of second order backward stochastic differential equations (2BSDEs for short), which are naturally linked to a class of fully non-linear PDEs. They proved existence and uniqueness for a generator which is uniformly Lipschitz in the variables $y$ and $z$. The aim of this paper is to extend these results to the case of a generator satisfying a monotonicity condition in $y$. More precisely, we prove existence and uniqueness for 2BSDEs with a generator which is Lipschitz in $z$ and uniformly continuous with linear growth in $y$. Moreover, we emphasize throughout the paper the major difficulties and differences due to the 2BSDE framework.

研究の動機と目的

• yに関する一様リプシッツ生成子に限らない既存の2BSDEの存在および一意性結果を一般化すること。
• yに関するリプシッツ条件を緩和しつつ、2BSDEフレームワークにおける適切な定式化を維持する課題に取り組むこと。
• 標準的なBSDEとは対照的に、2BSDEに固有の構造的および解析的困難を明確にすること。
• 生成子の正則性仮定を弱める条件下で、2BSDEと完全非線形PDEとの理論的基盤を確立すること。

提案手法

• 一様リプシッツ生成子を有する2BSDEの既存の存在および一意性フレームワークを適応する。
• y変数における単調性条件を課して、yに関する非リプシッツ性に起因する非線形性を制御する。
• yに関する一様連続性および線形成長を仮定し、非リプシッツ依存性下での生成子の振る舞いを管理する。
• パスごとの手法および確率論的手法を含む、2階後向きSDEに特化した確率解析技術を用いる。
• 2BSDE構造が解の収束性および安定性に与える影響を分析する。
• 標準的なBSDE理論と比較して、解析的ツールおよび仮定における相違点を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子がyに関して一様リプシッツでないが、単調性条件を満たす場合に、2BSDEの解の存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 yに関するリプシッツ条件を緩和する際、2BSDEフレームワークは標準的なBSDEと比較して、解析的要件をどのように変化させるか？
• RQ3 yに関する一様連続性および線形成長が、2BSDEの適切な定式化を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 2BSDEの構造的性質は、解法の選択および収束議論にどのように影響を与えるか？
• RQ5 一様リプシッツ設定を超えて2BSDEの結果を拡張する際の主な技術的障壁は何か？

主な発見

• zに関してリプシッツで、yに関して一様連続かつ線形成長を示す生成子を有する2BSDEについて、解の存在および一意性が確立された。
• yに関する単調性条件が、生成子が一様リプシッツでない場合でも、適切な定式化を保証するのに十分である。
• 本研究の結果により、2BSDE理論の適用範囲が、より広範な完全非線形PDEのクラスにまで拡張された。
• 本稿は、2BSDEフレームワークがもたらす固有の課題、特にyに関する非リプシッツ依存性の取り扱いにおける困難を特定および分析した。
• 解析により、標準的なBSDE手法では不十分であることが判明し、2階構造に適した特別なツールの必要性が示された。
• 緩和された条件下でもフレームワークは頑健であり、2BSDEと完全非線形PDEとの関係が維持された。