[論文レビュー] Second order discretization of Backward SDEs

Dan Crisan, K. Manolarakis|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2010

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、高次陰・陽的時間積分法とキューブチャージャー法を組み合わせることで、後退ストキャスティック微分方程式（BSDEs）の2次離散化スキームを提案し、滑らかまたはリプシッツ連続な端末条件のもとで収束率 $\mathcal{O}(1/n^2)$ を達成した。この手法は、時間分割を工夫し、条件付き期待値における誤差制御を可能にすることで、1次スキームを改善する。

ABSTRACT

In [5] the authors suggested a new algorithm for the numerical approximation of a BSDE by merging the cubature method with the first order discretization developed by [3] and [16]. Though the algorithm presented in [5] compared satisfactorily with other methods it lacked the higher order nature of the cubature method due to the use of the low order discretization. In this paper we introduce a second order discretization of the BSDE in the spirit of higher order implicit-explicit schemes for forward SDEs and predictor corrector methods.

研究の動機と目的

• 既存の方法の1次収束率を改善する、2次収束を達成するバックワードSDEの数値スキームの開発。
• 陰・陽的（IMEX）スキームおよび予測子・修正子法にインspした高次時間離散化技術を、BSDEの解法に統合すること。
• 端末条件 $\Phi$ がリプシッツ連続である場合でさえも、時間離散化ステップで2次収束を達成すること。
• 解の微分が端末時刻付近で発散する場合に誤差増大を制御するため、$T$ に近づくほど密度が高くなる非一様時間分割を設計すること。
• 新しい離散化と効率的な条件付き期待値の計算を組み合わせることで、数値的に実装可能なアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 本稿では、標準的な1次バックワードスキームを高次補正項を組み込むことで改良した2次離散化スキーム（式(3.8)）を導入する。
• 精度向上のため、予測子・修正子構造を用い、解の4次および5次微分係数に基づく補正を演算子 $L^\alpha u$ を用いて行う。
• 端末条件 $\Phi$ がリプシッツ連続である場合に、$T$ 付近での微分の特異性に対処するため、非一様時間分割 $t_i = T(1 - (1 - i/n)^\beta)$（$\beta \geq 5$）を採用する。
• 誤差の時間ステップ間での伝播を制御するため、離散グロワンウォール型不等式に依拠し、2次収束を保証する。
• バックワードステップにおける条件付き期待値は、モンテカルロサンプリングと確率積分のためのキューブチャージャー法の組み合わせで近似する。
• 解析により、誤差バウンドが $\delta_{i+1}^5 \max_{\|\alpha\|=4,5} \|L^\alpha u(t_{i+1},\cdot)\|^2_\infty$ に依存することを示し、非一様分割によりこれを制御可能であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 端末条件がリプシッツ連続である場合でも、高精度を維持する2次時間離散化がBSDEに対して構築可能か？
• RQ2 解の微分が端末時刻付近で無限大に発散する場合、誤差増大をどのように制御できるか？
• RQ3 低正則性を示す端末条件のもとで2次収束を達成するための時間分割戦略は何か？
• RQ4 高次IMEX型スキームを、FBSDEのバックワード成分に適応させ、収束速度を向上できるか？
• RQ5 キューブチャージャー法の使用が、BSDEソルバー全体の収束次数に与える影響は何か？

主な発見

• 端末条件 $\Phi$ が滑らかである場合、仮定(A)および(B)のもとで、提案された2次スキームは収束率 $\mathcal{O}(1/n^2)$ を達成する。
• リプシッツ連続な $\Phi$ に対しても、$\beta \geq 5$ の非一様時間分割を用いることで、$\mathcal{O}(1/n^2)$ 収束を維持する。
• 誤差バウンドは離散グロワンウォール不等式により導出され、時間ステップ間での誤差伝播が制御される。
• 主な誤差項が $\mathcal{O}(\delta_{i+1}^5 \max_{\|\alpha\|=4,5} \|L^\alpha u(t_{i+1},\cdot)\|^2_\infty)$ であることが示され、非一様分割上でも可積分である。
• 最初のバックワードステップが寄与する誤差は $\mathcal{O}(\delta_n^2)$ であり、非一様分割のもとで $\mathcal{O}(1/n^2)$ に収束し、全体として2次収束が保証される。
• 標準的な仮定(A)、(B)および(C1)のもとで、$\mathbb{E}[|Z_t|^2]$ および $\mathbb{E}[|Z^\pi_{1,t_{n-1}}|^2]$ が一様有界であることから、安定性が保証され、手法は頑健である。