[論文レビュー] Second order estimates for complex Hessian equations on Hermitian manifolds

Weisong Dong, Chang Li|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、右辺が勾配に依存する複素ヘッシアン方程式のコンパクトなヘルミート多様体上における $\chi$-擬シュレーディンガー的解に対して、一様な2階微分係数の推定を確立する。実ヘッシアン方程式の技術を適応し、Phong-Picard-Zhangの手法を拡張することで、自然な曲率および楕円的条件の下で、a priori $C^2$ 界を導出する。これは、既知のモンジュ＝アンペール方程式の結果を一般化し、非ケーラー幾何における主要な課題を解決する。

ABSTRACT

We derive second order estimates for $χ$-plurisubharmonic solutions of complex Hessian equations with right hand sides depending on gradients on compact Hermitian manifolds.

研究の動機と目的

• コンパクトなヘルミート多様体上における右辺が解の勾配に依存する複素ヘッシアン方程式に対して、一様な2階微分係数推定を確立すること。
• ケーラーから非ケーラー（ヘルミート）設定へ、2階推定フレームワークを拡張すること、特に完全非線形方程式に対して。
• 方程式に勾配依存性があることによって生じる3階項を制御する課題を解決すること。これは、標準的な推定を複雑にする。
• ヘルミート多様体上における複素モンジュ＝アンペール方程式の既存の $C^2$ 推定を、複素ヘッシアン方程式のより広いクラスへ一般化すること。
• 非ケーラーなコンパクト多様体上での複素ヘッシアン方程式を解く連続性法の基礎的推定を提供すること。

提案手法

• 実ヘッシアン方程式におけるGuang-Ren-Wangの技術を複素設定へ適応し、特に右辺が勾配に依存する場合を扱う。
• $|D\bar{D}u|_\omega^2$ の量に対する最大原理のアプローチを用いて、2階微分係数を制御する。
• $\phi$ と $\varphi$ を含む巧みな補助関数を構築し、悪い3階項を吸収し、曲率項を制御する。
• $\phi^\prime\prime - 2\phi^{\prime 2}/\phi^{\prime 2} \geq 0$ を満たすことで、補助関数における凸性を保証する複素版補助関数法を適用する。
• $P_m = \sigma_m(\tilde{g})$ と $\sigma_k^{p\bar{p}}$ を用いた摂動論法を実装し、ヘッシアン構造と固有値を制御する。
• $\sum_p (A_p + B_p + C_p + D_p)$ を含む重要な不等式を導出し、小さなパラメータ $\beta$、$\tau$、$\delta$ を用いて負の項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右辺が解の勾配に依存する場合に、コンパクトなヘルミート多様体上における複素ヘッシアン方程式に対して2階推定を確立できるか。
• RQ2 方程式に勾配依存項が存在する場合、推定における3階微分係数を制御するにはどのように扱うべきか。
• RQ3 非ケーラー幾何とケーラーの場合に存在しない曲率項を考慮するにあたり、最大原理の手法にどのような修正が必要か。
• RQ4 ヘルミート多様体上における複素モンジュ＝アンペール方程式の $C^2$ 推定を、勾配依存性を有する複素ヘッシアン方程式の全クラスへ一般化できるか。
• RQ5 $g \in \Gamma_k$ の自然な楕円的条件を仮定するだけで、$g \in \Gamma_{k+1}$ を要求する必要がない状況で、一様な $C^2$ 界を導出できるか。

主な発見

• 本稿は、コンパクトなヘルミート多様体上における複素ヘッシアン方程式の $\chi$-擬シュレーディンガー的解に対して、一様な2階微分係数推定 $|D\bar{D}u|_\omega \leq C$ を確立する。
• 定数 $C$ は $(M,\omega)$、$\varepsilon$、$n$、$k$、$\chi$、$\psi$、$\sup_M |u|$、$\sup_M |Du|$ のみに依存し、一様性を保証する。
• この結果は、ヘルミート多様体上における複素モンジュ＝アンペール方程式の $C^2$ 推定を、より広い複素ヘッシアン方程式のクラスへ一般化する。
• 方程式を2回微分する際、$\psi$ が $Du$ に依存する場合に生じる $|DDu|^2$ および $|D\bar{D}u|^2$ の問題となる項を、この手法が効果的に制御する。
• 著者らは、$\chi(z,u) \geq \varepsilon \omega$ の条件の下で推定を達成し、これは一様楕円的性を保証し、$\Gamma_k$ 条件の自然な強化である。
• 証明は、小さなパラメータ $\beta$、$\tau$、$\delta$ を用いた項の微妙なバランスと、負の曲率項および3階項を支配する補助関数 $\phi$ と $\varphi$ の選択に依存する。