[論文レビュー] Second-order finite difference approximations of the upper-convected time derivative

Oishi, Cassio Machiaveli|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Fluid Dynamics and Vibration Analysis参考文献 55被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般化リーダイバティブ（GLD）フレームワークを用いた粘弾性流れシミュレーションにおける上付きコンヴェクティブ時間微分の2次精度有限差分スキームを提示する。GLDと特性曲線に基づくラグランジュ的離散化および線形／双2次補間を組み合わせることで、大規模な線形システムを解く必要がなく、安定で明示的な更新が可能となり、高ウィッセンベルグ数におけるオールロイド-Bモデルの強固なシミュレーションが実現される。

ABSTRACT

In this work, new finite difference schemes are presented for dealing with the upper-convected time derivative in the context of the generalized Lie derivative. The upper-convected time derivative, which is usually encountered in the constitutive equation of the popular viscoelastic models, is reformulated in order to obtain approximations of second-order in time for solving a simplified constitutive equation in one and two dimensions. The theoretical analysis of the truncation errors of the methods takes into account the linear and quadratic interpolation operators based on a Lagrangian framework. Numerical experiments illustrating the theoretical results for the model equation defined in one and two dimensions are included. Finally, the finite difference approximations of second-order in time are also applied for solving a two-dimensional Oldroyd-B constitutive equation subjected to a prescribed velocity field at different Weissenberg numbers.

研究の動機と目的

• 粘弾性の構成方程式における上付きコンヴェクティブ時間微分に対する2次精度有限差分近似を構築すること。
• 一般化リーダイバティブ（GLD）フレームワークを活用することで、従来のエーラリアン上流差分スキームの安定性および精度の制限を克服すること。
• 大規模な線形システムの解法を必要としない明示的かつ安定な時間積分スキームを構築すること。
• ラグランジュ補間を用いて時間方向に2次精度、空間方向にp次精度を達成する。
• 1次元および2次元のモデル問題、および変動するウィッセンベルグ数を有する2次元オールロイド-B方程式に対して、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 上付きコンヴェクティブ時間微分を一般化リーダイバティブ（GLD）を用いて再定式化し、高次精度の時間離散化を可能にする。
• ラグランジュ的フレームワークにおいて特性曲線法を適用し、流体粒子の軌道を追跡し、それらに沿った材料微分を離散化する。
• 時間方向に3段階スキーム（t−Δt, t, t+Δtの値を用いて）を用い、O(Δt²)の切り捨て誤差を達成する2次精度時間離散化を実現する。
• 線形（p=1）および2次（p=2）ラグランジュ補間を用い、前時刻の場の値を特徴的点に再構築する。
• 行列演算と補間のみを用いて、陰解法を必要としない明示的な応力テンソル更新式を構築する。
• 予測子・修正子型のアルゴリズムを実装し、t−Δtおよびt+Δtの点で補間を実施することで、時間方向に2次精度を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化リーダイバティブフレームワークを用いて、上付きコンヴェクティブ時間微分に対する2次精度有限差分スキームを構築可能か？
• RQ2 GLDとラグランジュ的特性曲線を組み合わせることで、大規模な線形システムの解法を必要とせず、安定で明示的な時間積分スキームが得られるか？
• RQ3 提案スキームの切り捨て誤差の挙動はいかにか？時間方向に2次収束を達成できるか？
• RQ4 モデル問題および2次元オールロイド-B方程式において、変動するウィッセンベルグ数の範囲で、数値的性能はいかがなったか？
• RQ5 標準的なエーラリアン上流差分スキームとは異なり、CFL条件を強制的に満たす必要がないのか？

主な発見

• 提案スキームは時間方向に2次精度を達成し、一般化リーダイバティブ近似に対してO(Δt²)の切り捨て誤差の厳密な証明がなされた。
• 手法は明示的な更新を採用しており、大規模な線形システムの解法を必要とせず、陰解法上流差分スキームに比べて計算上の利点を有する。
• 数値実験により、線形および2次補間の両方において、1次元および2次元のモデル問題で時間方向に2次収束が確認された。
• ウィッセンベルグ数Wi=10までに達する高いウィッセンベルグ数における2次元オールロイド-B構成方程式のシミュレーションに成功し、強固さと安定性が示された。
• GLDとラグランジュ補間を組み合わせることで、対流支配領域においても粒子軌道に沿った応力場の高精度再構築が可能となった。
• CFL条件を満たす必要がないという意味で、本手法は条件付き安定性を示さず、標準的なエーラリアン上流差分手法とは異なり、無条件安定である。