[論文レビュー] Second order perturbation theory of two-scale systems in fluid dynamics

Arnaud Debussche, Umberto Pappalettera|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2022

Navier-Stokes equation solutions被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、2スケール系の流体力学的系において、2次摂動理論を用いて輸送ノイズおよび伊藤＝ストークスの漂流を有する確率的流体モデルを厳密に導出する。一般化された摂動テスト関数法を適用することで、遅い成分が、輸送ノイズおよび速い成分の不変測度から生じる漂流項を有する確率的偏微分方程式（SPDE）の解に法的に収束することを証明する。この結果は、ナビエ＝ストークス方程式、表面準地軸的流体方程式、および原始系方程式（2次元および3次元）に対して有効である。

ABSTRACT

In the present paper we study slow-fast systems of coupled equations from fluid dynamics, where the fast component is perturbed by additive noise. We prove that, under a suitable limit of infinite separation of scales, the slow component of the system converges in law to a solution of the initial equation perturbed with transport noise, and subject to the influence of an additional Itō-Stokes drift. The obtained limit equation is very similar to turbulent models derived heuristically. Our results apply to the Navier-Stokes equations in dimension $d=2,3$; the Surface Quasi-Geostrophic equations in dimension $d=2$; and the Primitive equations in dimension $d=2,3$.

研究の動機と目的

• 無限大の時間スケール分離の下で、遅い・速い流体系において輸送ノイズおよび伊藤＝ストークスの漂流がどのように出現するかを厳密に正当化すること。
• 流体力学的モデルのための確率的偏微分方程式（SPDE）に向けた摂動テスト関数法を拡張すること。
• 遅い成分が、輸送ノイズおよび速いダイナミクスの不変測度から導かれる漂流項を有する確率的偏微分方程式（SPDE）に法的に収束することを確立すること。
• メミンらの提示したヒューリスティックな確率的流体モデルを、数学的に堅牢な枠組みで検証すること。

提案手法

• 著者らは、加法的ノイズを有する抽象的ヒルベルト空間における結合遅い・速い系を、2次摂動理論を用いて分析する。
• SPDEに特化した一般化された摂動テスト関数法を適用し、古典的な均質化技法をPDEへと拡張する。
• この手法は、拡散近似から生じる輸送ノイズと、速いダイナミクスの平均化から生じる伊藤＝ストークスの漂流を同時に取り扱える。
• 弱収束を用いて極限方程式を導出し、適切な関数空間における緊密性（tightness）を確立する。
• 伊藤＝ストークスの漂流は、線形化された速い方程式の不変測度の積分として明示的に計算される：$ r = \int (-C)^{-1} b(w,w) \, d\mu(w) $。
• この解析は、ナビエ＝ストークス方程式、表面準地軸的流体方程式、および原始系方程式（2次元および3次元）を含む広範な流体モデルに適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2スケール流体系の遅い成分は、無限大のスケール分離の下で、輸送ノイズおよび伊藤＝ストークスの漂流を有する確率的偏微分方程式（SPDE）に収束するか？
• RQ2 摂動テスト関数法を、速い・遅い分離を有するSPDEにおける2次補正を導出するために一般化できるか？
• RQ3 加法的ノイズを有する速い・遅い系から導かれる流体モデルにおける、伊藤＝ストークスの漂流の明確な数学的表現は何か？
• RQ4 輸送ノイズおよび漂流項は、速い成分の不変測度の統計的性質からどのように生じるか？
• RQ5 この枠組みは、原始系方程式や表面準地軸的流体方程式のような複雑な流体モデルに適用可能か？

主な発見

• 遅い成分 $ u^\epsilon $ は、$ \epsilon \to 0 $ のとき、輸送ノイズおよび伊藤＝ストークスの漂流速度 $ r $ を有する確率的偏微分方程式（SPDE）の解に法的に収束する。
• 伊藤＝ストークスの漂流は、$ r = \int (-C)^{-1} b(w,w) \, d\mu(w) $ として厳密に導出され、ここで $ \mu $ は速い線形化方程式の不変測度である。
• 極限方程式は、メミンらの提示したヒューリスティックモデルと一致し、それらが確率的流体力学に用いられる根拠を数学的に裏付ける。
• この手法は、ナビエ＝ストークス方程式、表面準地軸的流体方程式、および原始系方程式（2次元および3次元）に適用可能であり、広範な適用可能性を示している。
• パスワイズ一意性が成り立つ限り、全列 $ u^\epsilon $ が確率的に極限に収束することが保証される。
• 緊密性および弱位相における強い収束が確立され、$ C([0,T]; H_w) \cap L^2([0,T]; H^1) $ におけるwell-definedな極限過程の存在が確認された。