[論文レビュー] Secondary Characteristic Classes on Loop Spaces

Yoshiaki Maeda, Steven Rosenberg+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、擬微分作用素（ΨDO）上のWodzickiトレースを用いて、ループ空間上のWodzicki-Chern-Simons（WCS）類の理論を構築し、ループ空間上のリーマン計量の補助的特徴類の計算を可能にする。主な結果は、$ L(S^2 \times S^3) $ 上に消えない5次元のWCS類 $ CS^W_5 $ を構成したことであり、これは $ \pi_1(\mathrm{Diff}(S^2 \times S^3)) $ が無限大であることを示し、特定の円作用が自明な作用と滑らかにホモトープでないことを証明する。

ABSTRACT

A Riemannian metric on a manifold M induces a family of Riemannian metrics on the loop space LM depending on a Sobolev space parameter s. The connection and curvature forms of these metrics take values in pseudodifferential operators. We develop a theory of Wodzicki-Chern-Simons classes using the s=0, 1 connections and the Wodzicki residue. These classes distinguish the smooth homotopy type of some circle actions on M = S^2 x S^3, and imply that the fundamental group of Diff(M) is infinite.

研究の動機と目的

• 無限次元Chern-Simons理論を用いて、ループ空間上の補助的特徴類の計算可能な理論を構築すること。
• 零次擬微分作用素上のWodzickiトレースを用いて、$ LM $ 上にWodzicki-Chern-Simons（WCS）類を定義すること。
• パrameter $ s $ に依存しない、正則化されたバージョンのこれらの類を構成し、計算可能かつ位相的に意味のあるものにすること。
• この理論を $ S^2 \times S^3 $ 上の円作用の滑らかなホモトピー型を区別する応用に適用すること。
• $ \pi_1(\mathrm{Diff}(S^2 \times S^3)) $ が無限大であることを、消えない特徴類を用いて証明すること。

提案手法

• ループ空間 $ LM $ 上に、$ s > 1/2 $ を満たす一パラメータ族のSobolev型リーマン計量 $ g^s $ を用い、Levi-Civita接続を定義する。その曲率形式および接続形式は、零次擬微分作用素に値をとる。
• Sobolev空間における局所記号計算を用いて、接続および曲率形式の主記号および副記号を計算する。
• Wodzickiトレース（ΨDO代数上の一意なトレース）を用いて、Wodzicki-Chern-Simons類 $ CS^{W}_{K} \in H^{2k-1}(LM^{2k-1}) $ を定義する。
• 曲率形式にWodzickiトレースを適用することで、$ CS^{W}_{2k-1} $ の明示的局所公式を構成し、明示的計算を可能にする。
• Sobolevパrameter $ s $ に依存しないように類を正則化し、位相的不変性を保証する。
• Sasaki-Einstein計量を備えた $ Y^{p,q} \cong S^2 \times S^3 $ に理論を適用し、座標における正確な積分により $ \int_{[a^L]} CS^W_5 $ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬微分作用素を用いて、無限次元ループ空間上に補助的特徴類を定義できるか？
• RQ2 Wodzickiトレースを用いて、$ LM $ 上に計算可能で $ s $ に依存しない特徴類を構築できるか？
• RQ3 $ L(S^2 \times S^3) $ 上に消えない5次元Wodzicki-Chern-Simons類が存在するか？
• RQ4 このような類は、$ S^2 \times S^3 $ 上の円作用の滑らかなホモトピー型を区別できるか？
• RQ5 $ CS^W_5 $ が消えないことから、$ \pi_1(\mathrm{Diff}(S^2 \times S^3)) $ が無限大であると結論づけられるか？

主な発見

• $ CS^W_5 \in H^5(L(S^2 \times S^3)) $ は消えない。$ (p,q) = (7,3) $ のとき、$ \int_{[a^L]} CS^W_5 = -\frac{1849\pi^4}{22050} $ である。
• $ CS^W_5 $ が消えないことから、$ S^2 \times S^3 $ 上の円作用 $ a_1 $ は自明な作用と滑らかにホモトープでない。
• この計算により、$ \pi_1(\mathrm{Diff}(S^2 \times S^3), \mathrm{id}) $ が無限大であることが確認され、$ CS^W_5 $ が基本群内の非自明な元を検出している。
• $ CS^W_5 $ は3次元多様体のループ空間上で消えるため、この理論において5次元の場合が最初の非自明な例である。
• この手法により、$ \pi^4 $ まで正確に有理数係数の結果が得られ、Sasaki-Einstein計量の代数的構造および座標積分と整合的である。
• この理論により、無限次元幾何における非ゼロのWodzicki型特徴類の最初の既知の例が得られた。