[論文レビュー] Seeing bulk topological properties of band insulators in small photonic lattices

Charles-Edouard Bardyn, Sebastian D. Huber+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2013

Topological Materials and Phenomena参考文献 35被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、小さな光格子におけるバルクトポロジカル不変量—特にチェーン数—を測定するために、調整可能なねじれ境界条件を用いたユニットセル光量子シミュレータを提案している。1つの磁性ユニットセルを制御可能なフラックスで設計することで、光子損失や非一様なバンド充填に対しても、トポロジカル不変量の正確な測定が可能となり、$7\times7$のサンプリングと$γ_{θmax} \approx 0.05$の条件下で2次元ホフスタッター模型におけるチェーン数の検出が実現可能であることを示している。

ABSTRACT

We present a general scheme for measuring the bulk properties of non-interacting tight-binding models realized in arrays of coupled photonic cavities. Specifically, we propose to implement a single unit cell of the targeted model with tunable twisted boundary conditions in order to simulate large systems and, most importantly, to access bulk topological properties experimentally. We illustrate our method by demonstrating how to measure topological invariants in a two-dimensional quantum Hall-like model.

研究の動機と目的

• 光子系におけるバルクトポロジカル性質の測定に課題となる非均一なバンド充填や光子損失を克服すること。
• フェルミ統計やパウリ排他原理が自然に均一なバンド充填を保証しないボソン系、たとえば光格子のような系において、トポロジカル不変量をスケーラブルかつ実用的に測定する手法を開発すること。
• 調整可能なねじれ境界条件によって有効な並進不変性を保つことにより、小さな光子系におけるバルクトポロジカル不変量への実験的アクセスを可能にすること。
• 制御可能なフラックスを有するユニットセルサイズの光格子を用いて、2次元量子ホール効果に類似したホフスタッター模型におけるチェーン数の測定の可能性を示すこと。
• 空間対称性によって保護されるトポロジカル相や、10種類のアールトランド＝ツァーブァー対称性クラスにわたる光量子シミュレーションの応用を拡張すること。

提案手法

• 本手法は、特定に1つの磁性ユニットセルからなる小さな光格子を用い、有効な運動量空間の周期性を持つ大きな系を模倣するための調整可能なねじれ境界条件を実装する。
• ねじれ境界条件は、ユニットセルを貫くゲージ同値なフラックス$\phi_u$を介して実装され、ブリユアンゾーン内のすべての運動量セクターへのアクセスを可能にする。
• 系はコherent場によって駆動され、光子損失を受ける。これはリンドブラッド密度行列方程式によりモデル化され、定常状態としてコherent状態の積が得られる。
• バンドに関連するスペクトル射影子$P_n(\phi_1, \phi_2)$は、さまざまなねじれ角に対してユニットセル内での定常状態コherent場の振幅と位相を測定することで実験的に測定される。
• チェーン数$\nu_n$は、$7\times7$のねじれ角グリッドを用いて離散的なベルリーカラーチュアを計算し、標準的な式$\nu_n = \frac{1}{2\pi} \sum_{\phi_1,\phi_2} \text{Im} \, \text{Tr} \left[ P_n \, dP_n \wedge dP_n \right]$に従って算出される。
• バンドギャップ$\Delta$が十分に大きく、$\gamma \ll \Delta$を満たす限り、光子損失に対して本手法は安定であり、個々のバンドの分離が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非均一なバンド充填や光子損失の影響を受ける小さな光格子において、チェーン数のようなバルクトポロジカル不変量を正確に測定できるか？
• RQ2 ユニットセル光系における調整可能なねじれ境界条件は、大きな周期的系の運動量空間構造を模倣し、トポロジカル不変量へのアクセスを可能にするか？
• RQ3 ユニットセルシミュレータにおいて、正確なチェーン数測定が可能な最大光子損失率$\gamma_{\text{max}}$はどの程度か？
• RQ4 本手法は、空間対称性を有する系や、量子ホール効果を超えた他のトポロジカル相へ一般化可能か？
• RQ5 チェーン数を正しく特定するのに必要なねじれ角グリッドの粗さはどの程度か？

主な発見

• 2次元ホフスタッター模型のバンドにおけるチェーン数は、$7\times7$のねじれ角グリッド$\phi_1, \phi_2 \in [0, 2\pi)$を用いることで正確に測定可能であり、中程度の損失率下でも高い忠実度を示している。
• バンドギャップが$\Delta$である場合、光子損失率$\gamma$が$\Delta$に比べて十分に小さい限り、本手法は正確に保たれ、$n_p = 1/6$のホフスタッター模型においては$\gamma_{\text{max}} \approx 0.05$となる。
• スペクトル射影子$P_n(\phi_1, \phi_2)$は、各キャビティにおける定常状態コherent場の振幅と位相から実験的に再構成可能であり、トポロジカル不変量への直接的なアクセスが可能である。
• ユニットセルアプローチは、ねじれ境界条件によって有効な並進不変性を維持するため、大規模アレイを必要とせずにバルク性質を模倣可能である。
• 本手法は10種類のアールトランド＝ツァーブァー対称性クラスに適用可能であり、点群や逆変換対称性によって保護されるトポロジカル相の研究へも拡張可能である。
• 数値シミュレーションにより、粗いサンプリングを用いても各バンドにおけるチェーン数が正しく同定されることを確認しており、本手法のロバストネスと実用的妥当性が裏付けられている。