[论文解读] Segal Enriched Categories I

Hugo V. Bacard|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文引入了在双范畴 $$\mathscr{M}$$ 上以一类同伦等价 $$\mathscr{W}$$ 为结构的塞加尔 enriched 范畴，称为塞加尔 $$\mathscr{M}_{\mathscr{W}}$$-范畴。该工作通过构造一个局部化双范畴 $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$，推广了经典 enriched 范畴与塞加尔对高阶范畴的处理方法，确保结合律与单位公理由局部化过程保持不变，从而为非笛卡尔对称张量范畴之外的 enriched 范畴提供了同伦理论框架。

ABSTRACT

We develop a theory of enriched categories over a (higher) category M equipped with a class W of morphisms called homotopy equivalences. We call them Segal M_W -categories. Our motivation was to generalize the notion of "up-to-homotopy monoids" in a monoidal category M, introduced by Leinster. The formalism adopted generalizes the classical Segal categories and extends the theory of enriched category over a bicategory. In particular we have a linear version of Segal categories which did not exist so far. Our goal in this paper is to present the theory and provide some examples. Applications are reserved for the future.

研究动机与目标

• 通过在双范畴上进行 enriched 范畴化，将莱因斯特关于 up-to-homotopy 幺半群的概念推广到多对象情形。
• 通过在同伦上下文中定义满足塞加尔条件的 enriched 范畴，将塞加尔对高阶范畴的方法加以扩展。
• 从一个带有弱等价类 $$\mathscr{W}$$ 的双范畴 $$\mathscr{M}$$ 构造局部化双范畴 $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$，确保复合与单位结构的协调性。
• 通过在非笛卡尔对称张量范畴（如 $$\mathbf{ChVect}$$）上进行 enriched 范畴化，提供此前文献中缺失的塞加尔范畴的线性版本。
• 在双范畴设定下，统一并推广现有框架，包括希施科维奇-辛普森-坦萨马尼的塞加尔 $$n$$-范畴与勒里埃的基于 $$\Delta_X$$ 的 enriched 理论。

提出的方法

• 以贝纳布乌的双范畴及其之间的态射作为 enriched 的基础结构。
• 通过类似 nerve 的构造定义塞加尔 $$\mathscr{M}_{\mathscr{W}}$$-范畴，使其在同伦双范畴中满足塞加尔条件。
• 通过反转一类态射 $$\mathscr{W}$$ 构造局部化双范畴 $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$，使用局部化函子 $$\mathcal{L}_{\mathscr{W}}$$。
• 利用局部化的普遍性质，从 $$\mathscr{M}$$ 提升复合与单位映射到 $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$。
• 通过立方体图与竖直面的交换性，验证局部化设定下结合律与单位公理的协调性。
• 依赖于函子与自然变换的性质 $$\overline{F \times G} = \overline{F} \times \overline{G}$$，以确保复合下的兼容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将莱因斯特关于 up-to-homotopy 幺半群的概念推广到多对象情形？
• RQ2 塞加尔对高阶范畴的方法能否通过双范畴 enriched 在非笛卡尔对称张量范畴中加以扩展？
• RQ3 如何保证双范畴 $$\mathscr{M}$$ 关于弱等价类 $$\mathscr{W}$$ 的局部化过程保持 enriched 范畴的结构？
• RQ4 在什么条件下，$$\mathscr{M}$$ 中的结合律与单位公理由能提升至局部化双范畴 $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$？
• RQ5 是否可能利用该框架在 $$\mathbf{ChVect}$$ 上定义塞加尔范畴的线性版本？

主要发现

• $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ 的构造产生了一个双范畴，其带有自然的同态 $$\mathcal{L}_{\mathscr{W}}: \mathscr{M} \to \mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$，满足局部化的普遍性质。
• $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ 中的复合映射 $$c_{\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}}(U,V,W)$$ 定义良好，为 $$\overline{\mathcal{L}_{\mathscr{W}_{UW}} \circ c_{\mathscr{M}}(U,V,W)}$$，确保与局部化兼容。
• $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ 中的结合律五边形由 $$\mathscr{M}$$ 中的五边形诱导，且由于通过局部化函子的因式分解唯一性而交换。
• $$\mathscr{W}^{-1}\mathscr{M}$$ 中的单位与结合律公理由 $$\mathscr{M}$$ 通过普遍性质继承，并借助 $$\overline{F \times G} = \overline{F} \times \overline{G}$$ 的兼容性。
• 该框架为 $$\mathbf{ChVect}$$ 提供了线性塞加尔范畴结构，此前文献中尚无此情形。
• 该构造推广了经典 enriched 范畴，并将塞加尔 $$n$$-范畴理论扩展至非笛卡尔设定。