[論文レビュー] Selection of measures for a potential with two maxima at the zero temperature limit

Alexandre Baraviera, Renaud Leplaideur+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2010

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 19被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、3記号の有限型符号化されたサブシフト上のホルダー連続なポテンシャルのゼロ温度極限におけるギブズ測度を調査する。このポテンシャルは2つの最大化測度（固定点 0^∞ と 1^∞ におけるディラック測度）を持つ。ポテンシャルが 0^∞ でより平坦であるにもかかわらず、ギブズ測度が常に平坦な点におけるディラック測度に収束するとは限らず、むしろ2つの測度の凸結合を選択する可能性がある。選択の挙動は、ポテンシャルパラメータ α に対して不連続的かつ非単調的であることが示された。

ABSTRACT

For the subshift of finite type $§=\{0,1,2\}^{\N}$ we study the convergence at temperature zero of the Gibbs measure associated to a non-locally constant Hölder potential which admits only two maximizing measures. These measures are Dirac measures at two different fixed points. The potential is flattest at one of these two fixed points. The question we are interested is: which of these probabilities the invariant Gibbs state will select when temperature goes to zero? We prove that on the one hand the Gibbs measure converges, and at the other hand it does not necessarily converge to the measures where the potential is the flattest. We consider a family of potentials of the above form; for some of them there is the selection of a convex combination of the two Dirac measures, and for others there is a selection of the Dirac measure associated to the flattest point. In the first case this is contrary to what was expected if we consider the analogous problem in Aubry-Mather theory by N. Anantharaman, R. Iturriaga, P. Padilla and H. Sanchez-Morgado. The invariant probability is obtained by the junction of the eigen-function and the eigen-probability. A curious phenomena that happens in our examples is that the eigen-measure and the eigen-function have opposite behavior. When $β o \infty$, the eigen-measure became exponential bigger around $0^\infty$, when compared to points around $1^\infty$. For the eigen-function the opposite happens.

研究の動機と目的

• 3記号の有限型サブシフト上に存在する非局所定数のホルダー連続ポテンシャルに対して、ギブズ測度のゼロ温度極限を分析すること。
• オーブリ・マスター理論が示唆するように、ゼロ温度での選択が、ポテンシャルが最も平坦な点における測度に偏るかどうかを検証すること。
• 複数の最大化測度が存在する場合の収束挙動と、極限測度の性質を調査すること。
• ポテンシャルの曲率とパラメータ α が選択結果に与える影響を明らかにすること。
• 収束が一般には保証されず、選択が不連続的かつ非自明な形を取ることを示すこと。

提案手法

• 全シフト Σ = {0,1,2}^ℕ 上にホルダー連続ポテンシャル A(x) を定義し、0^∞ および 1^∞ の近傍のシリンダーで異なる値を取り、それ以外では定数とする。
• 遷移作用素を用いて、βA に関連するギブズ測度 μ_β を構成し、β → ∞ がゼロ温度に対応する。
• 固有関数の値の比 H(0^∞)/H(1^∞) の漸近的挙動を、級数展開と尾部推定を用いて分析する。
• 固有関数と固有測度の双対性を用い、シリンダー確率の比 μ([0])/μ([1]) を有限シリンダーの寄与に分解して推定する。
• 技術的補題を適用し、有限シリンダー寄与の相対的重みを制御し、比 μ([0])/μ([1]) が漸近的に e^β × H(0^∞)/H(1^∞) に支配されることを示す。
• 圧力と固有関数の尾部の漸近的解析を用いて、β → ∞ のときのギブズ測度の極限挙動を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゼロ温度におけるギブズ測度は、常にポテンシャルが最も平坦な点におけるディラック測度に収束するのか？
• RQ2 複数の最大化測度が存在する場合、極限不変測度の選択は何かによって決定されるのか？
• RQ3 ポテンシャル内のパラメータ α は、ギブズ測度の極限挙動にどのように影響するか？
• RQ4 1つのポテンシャル最大点がより平坦であっても、極限測度が2つのディラック測度の非自明な凸結合となることは可能か？
• RQ5 選択プロセスはポテンシャルパラメータに関して連続的か、それとも不連続性を示すことがあるか？

主な発見

• α < 1 の場合、比 H(0^∞)/H(1^∞) は β に関して指数関数的に増大するため、ギブズ測度は δ_{0^∞} と δ_{1^∞} の凸結合を選び、0^∞ 側に偏る。
• α = 1 の場合、e^β × H(0^∞)/H(1^∞) の極限は黄金比 (1+√5)/2 に収束し、0^∞ 側に偏る非自明な選択が示される。
• α > 1 の場合、比 H(0^∞)/H(1^∞) は 1 に近づくため、ギブズ測度は2つのディラック測度のバランスの取れた凸結合に収束する。
• 選択は α = 1 で不連続であり、極限比が α < 1 のとき ∞ から α = 1 のとき (1+√5)/2 に飛び、α > 1 のとき 1 に移行する。
• 固有測度と固有関数は逆の挙動を示す：固有測度は β → ∞ のとき 0^∞ に集中するが、固有関数は 1^∞ 側を好むため、解析には繊密な制御が必要である。
• 一般にはギブズ測度の収束が保証されず、収束が存在しても極限は非自明な凸結合となることがあり、オーブリ・マスター理論の予想とは反する。