[論文レビュー] Self-similarity and fractional Brownian motions on Lie groups

Fabrice Baudoin, Laure Coutin|ArXiv.org|Mar 8, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Hurst指数 $ H > \frac{1}{4} $ を持つ線形分数 Browm運動によって駆動される確率微分方程式の解として、リー群上での分数 Browm運動を導入する。この過程は定常増分と局所自己相似性を持つことが示され、自己相似性がグローバルである群（単連結な可解リー群）が同定され、経路空間上での部分積分公式が証明され、ハール測度に関する滑らかな密度の存在が示される。

ABSTRACT

The goal of this paper is to define and study a notion of fractional Brownian motion on a Lie group. We define it as at the solution of a stochastic differential equation driven by a linear fractional Brownian motion. We show that this process has stationary increments and satisfies a local self-similar property. Furthermore the Lie groups for which this self-similar property is global are characterized. Finally, we prove an integration by parts formula on the path group space and deduce the existence of a density.

研究の動機と目的

• リー群上での分数 Browm運動を、分数 Browm運動によって駆動される確率微分方程式の解として定義し、その性質を調べること。
• この過程が定常増分と局所自己相似性を持つことを確立すること。
• 自己相似性がグローバルであるようなリー群を同定すること。
• 経路空間上での部分積分公式を証明し、その結果、有限次元分布がハール測度に関して滑らかな密度を持つことを示すこと。

提案手法

• 基底 $ (V_1, \dots, V_d) $ を用いてリー代数 $ \mathfrak{g} $ 上に標準的な分数 Browm運動を定義し、$ H > \frac{1}{4} $ を持つ $ d $ 次元の分数 Browm運動を用いる。
• 初期条件 $ X_0 = 1_\mathbf{G} $ を持つ rough path 型確率微分方程式 $ dX_t = X_t dB^\mathfrak{g}_t $ を rough path 理論を用いて解き、存在と一意性を保証する。
• dyadic 分割に沿った分数 Browm運動の線形補間を用い、$ 1/p $-ホルダー位相において極限に近づけることで解を構成する。
• 時間シフト過程 $ (X_s^{-1}X_{t+s})_{t \geq 0} $ を解析することで、等長変換下での不変性と増分の定常性を証明する。
• rough path のマルヤビン計算と転送原理を用いて、経路群空間上での部分積分公式を導出する。
• 部分積分公式を応用し、マルヤビン行列が可逆であることを示し、ハール測度に関する滑らかな密度の存在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のリー群上で、分数 Browm運動によって駆動される確率微分方程式を用いて、分数 Browm運動を一貫して定義できるか？
• RQ2 このような過程のスケーリング特性は何か？ また、自己相似性が漸近的であるのではなくグローバルなものとなるのはいつか？
• RQ3 どのリー群が、分数 Browm運動に対してグローバルな自己相似構造を持つのか？
• RQ4 この過程の有限次元分布は、群上のハール測度に関して滑らかな密度を持つのか？
• RQ5 経路空間上での部分積分公式を確立でき、マルヤビン計算の手法を適用できるか？

主な発見

• 確率微分方程式 $ dX_t = X_t dB^\mathfrak{g}_t $ の解として定義されるリー群上での分数 Browm運動は、すべての $ H > \frac{1}{4} $ に対して定常増分を持つ。
• この過程はパラメータ $ H $ を持つ局所自己相似性を持つ。また、Kunita の意味での漸近的自己相似性を持つ。
• グローバル自己相似性が成り立つのは、リー群が単連結かつ可解である場合に限る。
• rough path 理論とマルヤビン計算を用いて、経路群空間上での部分積分公式が確立された。
• マルヤビン行列が可逆であることが示され、これは過程の有限次元分布がハール測度に関して滑らかな密度を持つことを示唆する。
• 結果は、正規直交フレームバンドルと Eells-Elworthy-Malliavin の構成を用いて、リーマン多様体へと拡張可能である。