[論文レビュー] Selmer groups as flat cohomology groups

Kęstutis Česnavičius|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、十分に大きな素数 $p$ に対して、数体上のアーベル多様体の $p^m$-Selmer 群がその $\mod p^m$ ガロア表現によって決定されることを確立する。fppf コホロロジーとネロンモデルを用いて、$p$ について明示的な条件を満たすとき、$\operatorname{Sel}_{p^m}A$ が平坦コホロロジー群 $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[p^m])$ に同型であることを示し、$p$ が有限集合 $\Sigma$ の外にあるとき、$\mathcal{A}[p^m]$ が $A[p^m]$ によって決定されることを証明する。これにより、$\mod p^m$ データによる Selmer 群のコホロロジー的記述が得られる。

ABSTRACT

Given a prime number $p$, Bloch and Kato showed how the $p^\infty$-Selmer group of an abelian variety $A$ over a number field $K$ is determined by the $p$-adic Tate module. In general, the $p^m$-Selmer group $\mathrm{Sel}_{p^m} A$ need not be determined by the mod $p^m$ Galois representation $A[p^m]$; we show, however, that this is the case if $p$ is large enough. More precisely, we exhibit a finite explicit set of rational primes $Σ$ depending on $K$ and $A$, such that $\mathrm{Sel}_{p^m} A$ is determined by $A[p^m]$ for all $p ot \in Σ$. In the course of the argument we describe the flat cohomology group $H^1_{\mathrm{fppf}}(O_K, \mathcal{A}[p^m])$ of the ring of integers of $K$ with coefficients in the $p^m$-torsion $\mathcal{A}[p^m]$ of the Néron model of $A$ by local conditions for $p ot\in Σ$, compare them with the local conditions defining $\mathrm{Sel}_{p^m} A$, and prove that $\mathcal{A}[p^m]$ itself is determined by $A[p^m]$ for such $p$. Our method sharpens the known relationship between $\mathrm{Sel}_{p^m} A$ and $H^1_{\mathrm{fppf}}(O_K, \mathcal{A}[p^m])$ and continues to work for other isogenies $ϕ$ between abelian varieties over global fields provided that $\mathrm{deg} ϕ$ is constrained appropriately. To illustrate it, we exhibit resulting explicit rank predictions for the elliptic curve $11A1$ over certain families of number fields.

研究の動機と目的

• 数体 $K$ 上のアーベル多様体 $A$ の $p^m$-Selmer 群 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$ が、$\mod p^m$ ガロア表現 $A[p^m]$ によっていつ決定されるかを特定すること。
• ネロンモデル $\mathcal{A}$ の平坦コホロロジー $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[p^m])$ を用いて、$\operatorname{Sel}_{p^m}A$ のコホロロジー的記述を確立すること。
• すべての $p \notin \Sigma$ に対して $p^m$-Selmer 群が $A[p^m]$ によって決定されるような有限素数集合 $\Sigma$ を特定すること。
• 適切な $\deg\phi$ と局所的不変量の制約の下で、この結果をアーベル多様体間の同種 $\phi$ に一般化すること。

提案手法

• アーベル多様体 $A$ のネロンモデル $\mathcal{A}$ を用いて、$\operatorname{Sel}_{p^m}A$ を平坦コホロロジー群 $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[p^m])$ と関連付ける fppf コホロロジーの使用。
• 還元型とタマガワ因子に関する条件の下で、$H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[\phi])$ と $\phi$-Selmer 群 $\operatorname{Sel}_\phi A$ の同型を確立すること。
• 局所的条件と分岐度の上限 $e_v < p_v - 1$ に依拠して、$p$ が有限集合 $\Sigma$ の外にあるとき、$\mathcal{A}[p^m]$ が $A[p^m]$ によって決定されることの証明。
• 降下理論と平坦基底変換を用いて、局所的 fppf コホロロジーと局所的ガロアコホロロジー、および Selmer 条件を関連付けること。
• クリスタリン周期環 $B_{\mathrm{cris}}$ を用いて、局所的条件 $H^1_f(K_v, V_pA)$ を定義し、$A(K_v) \otimes \mathbb{Q}_p / \mathbb{Z}_p$ と関連付けること。
• 還元条件の下で、$\mathcal{A}[\phi]$ の平坦性と有限性の性質を分析することにより、任意の同種 $\phi$ に一般化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの素数 $p$ に対して、$p^m$-Selmer 群 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$ が $\mod p^m$ ガロア表現 $A[p^m]$ によって決定されるか？
• RQ2 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$ は、ネロンモデル $\mathcal{A}[p^m]$ の平坦コホロロジーによって明示的に記述可能か？
• RQ3 $p$、体 $K$、アーベル多様体 $A$ のどの条件が、$\mathcal{A}[p^m]$ が $A[p^m]$ によって決定されることを保証するか？
• RQ4 平坦コホロロジー群 $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[p^m])$ と古典的 Selmer 群 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$ との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 この手法は、他のアーベル多様体間の同種 $\phi$ にどの程度一般化可能か？

主な発見

• 数体 $K$ とアーベル多様体 $A$ に依存する、明示的に計算可能な有限集合 $\Sigma$ の外にあるすべての素数 $p$ に対して、$p^m$-Selmer 群 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$ はガロアモジュール $A[p^m]$ によって決定される。
• 十分に大きな $p$ で、$A$ が $p$ を割る素点で半アーベル的還元を持つとき、平坦コホロロジー群 $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[p^m])$ は $p^m$-Selmer 群 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$ に同型である。
• すべての $p \notin \Sigma$ に対して、$e_v < p_v - 1$ がすべての $v$ で $p$ を割るとき、ネロンモデル $\mathcal{A}[p^m]$ は $A[p^m]$ によって決定される。
• 任意の同種 $\phi$ に一般化可能である：$\deg\phi$ がすべての局所的タマガワ因子と互いに素で、$v \mid \deg\phi$ のとき $e_v < p_v - 1$ ならば、$\operatorname{Sel}_\phi A_L$ は $A[\phi](L^s)$ によって決定される。
• 楕円曲線 11A1 に対して、$p$ が十分に大きいとき、この手法により特定の数体の族上でのランクの明示的予測が得られる。
• 論文は、fppf コホロロジーを用いて $T_pA$ を通じた $\operatorname{Sel}_{p^m}A$ のコホロロジー的記述を提供し、既知の Selmer 群と $p$-進テートモジュールの間の関係を強化している。