[論文レビュー] Semi-classical differential structures

Edwin Beggs, Shahn Majid|ArXiv.org|Jun 18, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非可換幾何における微分積分法の半古典的枠組みを導入し、微分積分法の無限小的データが前接続（preconnection）に対応することを示している。特に、シンプレクティックな場合、それはシンプレクティック接続であり、曲率は外積代数の非結合性を符号化する。主な結果は、クェーシュトリアングル・ポワン・リー群に対して一意に定まる、自然な平坦な前接続であり、これは単純なリー代数（$sl_n$, $n>2$ を除く）に対して一意に定まり、ドリンフェルトのねじれ（twist）およびフェドソフの量子化と関連している。

ABSTRACT

We semiclassicalise the standard notion of differential calculus in noncommutative geometry on algebras and quantum groups. We show in the symplectic case that the infinitesimal data for a differential calculus is a symplectic connection, and interpret its curvature as lowest order nonassociativity of the exterior algebra. Semiclassicalisation of the noncommutative torus provides an example with zero curvature. In the Poisson-Lie group case we study left-covariant infinitesimal data in terms of partially defined preconnections. We show that the moduli space of bicovariant infinitesimal data for quasitriangular Poisson-Lie groups has a canonical reference point which is flat in the triangular case. Using a theorem of Kostant, we completely determine the moduli space when the Lie algebra is simple: the canonical preconnection is the unique point for other than sl_n, n>2, when the moduli space is 1-dimensional. We relate the canonical preconnection to Drinfeld twists and thereby quantise it to a super coquasi-Hopf exterior algebra. We also discuss links with Fedosov quantisation.

研究の動機と目的

• 非可換幾何における微分積分法の半古典的極限を構築し、非可換代数から古典的無限小的構造を回復すること。
• 特にシンプレクティックおよびポワン・リー群の設定において、微分積分法の無限小的データを前接続の観点から特徴づけること。
• クェーシュトリアングル・ポワン・リー群に対して自然な前接続を特定し、その曲率および平坦性条件を同定すること。
• この自然な前接続をドリンフェルトのねじれおよび量子化（特に超コクワイ・ホップ外積代数）と関連付けること。
• 非結合的微分形式の文脈における曲率とねじれの障害の幾何的意味を明確化すること。

提案手法

• 非可換微分積分法の変形量子化による半古典的化により、非可換代数からポアソン括弧および微分構造を回復すること。
• シンプレクティックな場合、1次微分的計算の半古典的アナログとしてシンプレクティック接続を用い、その曲率が外積代数の非結合性を測る。
• リー代数の写像 $\Xi: \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}$ および $\hat{\Xi}: \mathfrak{g} \to \mathrm{Sym}^2(\mathfrak{g})$ を用いて、ポワン・リー群上の左不変および双不変微分構造を定式化すること。
• Kostantの定理を応用し、単純なリー代数に対する双不変無限小的データのモジュライ空間を分類すること。
• クェーシュトリアングル $r$-行列の反対称部分 $r_-$ のショウテン括弧 $[[r_-, r_-]]$ を用いて、自然な前接続を構成すること。
• この自然な前接続をドリンフェルトのねじれおよび量子化により、超コクワイ・ホップ外積代数に写し、フェドソフの量子化と関連付けること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換微分積分法の半古典的極限とは何か？ そして、非可換代数からどのようにして古典的微分幾何的データが回復されるか？
• RQ2 非可換微分形式における曲率とねじれの障害は、半古典的極限においてどのように幾何的に現れるか？
• RQ3 クェーシュトリアングル・ポワン・リー群上の双不変微分計算のモジュライ空間は何か？ そして、自然な選択肢が存在するか？
• RQ4 クェーシュトリアングル・ポワン・リー群上の自然な前接続が、最低次の段階で外積代数を結合的にするための条件は何か？
• RQ5 自然な前接続が変形量子化の文脈において、ドリンフェルトのねじれおよびフェドソフの量子化とどのように関連しているか？

主な発見

• 微分積分法の半古典的極限は前接続に対応し、その曲率は外積代数の最低次の非結合性を測る。
• シンプレクティックな場合、無限小的データはシンプレクティック接続であり、その接続の曲率は超ジャコビ恒等式における障害 $J_1$ に対応する。
• 非可換トーラスの場合、半古典的微分積分法は曲率がゼロであり、平坦な例を与える。
• クェーシュトリアングル・ポワン・リー群の場合、双不変無限小的データのモジュライ空間は $\mathrm{Ad}$-不変な対称写像 $\hat{\Xi}: \mathfrak{g} \to \mathrm{Sym}^2(\mathfrak{g})$ によって決定され、自然な前接続が存在する。
• 自然な前接続の曲率は $[[r_-, r_-]]$ であり、これは単純なリー代数（$sl_n$, $n>2$ を除く）に対して一意の選択である。$sl_n$, $n>2$ の場合、モジュライ空間は1次元である。
• 自然な前接続はドリンフェルトのねじれを介して量子化され、超コクワイ・ホップ外積代数に写され、Lie代数が三角的（triangular）である場合に限り、最低次の段階で結合的になる。