[論文レビュー] Semi-closed form solutions for barrier and American options written on a time-dependent Ornstein Uhlenbeck process

Peter Carr, Andrey Itkin|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2020

Capital Investment and Risk Analysis参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する Ornstein-Uhlenbeck (OU) プロセスに従うバリアオプションおよびアメリカンオプションのための準封形式解を提示する。価格設定のPDEを変数変換により熱方程式に変換し、数値的にフリードホルム積分方程式を解く。この手法により、後退差分法よりも優れた計算性能を発揮し、特に複数のオプションを同時に価格設定する場合に前向きスケーラーと同等の性能を達成する高精度かつ効率的な価格設定が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we develop a semi-closed form solutions for the barrier (perhaps, time-dependent) and American options written on the underlying stock which follows a time-dependent OU process with a log-normal drift. This model is equivalent to the familiar Hull-White model in FI, or a time dependent OU model in FX. Semi-closed form means that given the time-dependent interest rate, continuous dividend and volatility functions, one need to solve numerically a linear (for the barrier option) or nonlinear (for the American option) Fredholm equation of the first kind. After that the option prices in all cases are presented as one-dimensional integrals of combination of the above solutions and Jacobi theta functions. We also demonstrate that computationally our method is more efficient than the backward finite difference method used for solving these problems, and can also be as efficient as the forward finite difference solver while providing better accuracy and stability.

研究の動機と目的

• 時間に依存するOUプロセスに従う場合のバリアオプションおよびアメリカンオプションに対する準封形式解の開発。
• 時間に依存する平均寄りの回帰およびボラティリティ下でのエグゾチックオプションに対する閉形式解の欠如を克服すること。
• オプション価格設定で一般的に用いられる標準的差分法と比較して、計算効率と安定性の向上。
• 統一されたフレームワーク内で、時間に依存する金利、配当、ボラティリティ、および時間に依存するバリアを扱えるようにすること。

提案手法

• 時間に依存する関数 f(x,t) および g(t) を用いた変数変換により、バリアオプションの価格設定PDEを熱方程式に変換する。
• 変換を可能にするために、g(t) に関する常微分方程式 (ODE) と w(t) に関するリッカティ方程式を導出する。これらは一般の時間に依存するパrameterに対して数値的に解ける。
• オプション価格設定問題を、変換された空間における第一種線形フリードホルム積分方程式の解法に還元する。
• 最終的なオプション価格を、フリードホルム方程式の解とヤコビのシータ関数を含む1次元積分として表現する。
• アメリカンオプションの場合、非線形フリードホルム方程式を繰り返し解くことで処理し、同じ積分構造を維持する。
• 精度を向上させるために、計算複雑性を増加させずに高次数の求積則（例：シンプソン則）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存するOUプロセス下でのバリアオプションおよびアメリカンオプションに対して、準封形式解を導出可能か？
• RQ2 すべてのモデルパラメータ（ドリフト、ボラティリティ、金利）が時間に依存する場合、価格設定PDEをどのようにして熱方程式に変換できるか？
• RQ3 本手法の計算効率は、エグゾチックオプションの差分法スケーラーと比較してどの程度か？
• RQ4 アルゴリズムの構造的変更なしに、時間に依存するバリアを処理できるか？
• RQ5 本手法の精度と安定性は、後退差分法および前向き差分法と比較してどの程度か？

主な発見

• 同じ精度で後退差分法と比較して約30–40倍速いため、フリードホルム方程式を解く際の複雑性が低減されている。
• p空間におけるコロケーション点数 M₁ = 10 で解が収束し、さらなる細分化が結果を改善しないことから、計算オーバーヘッドが低いことが示された。
• 後退差分スケーラーと比較して、より高い精度と安定性を達成しながら、複数オプション価格設定において前向き差分スケーラーと同等の効率性を実現した。
• 本手法の複雑性は、主にフリードホルム方程式の解法に起因し、O(M₁³)の複雑性を示す。これは、標準的差分グリッドのNに対して M₁ ≪ N である場合に有利である。
• ヤコビのシータ関数の使用により、最終的なオプション価格が1次元積分としてコンactかつ安定的かつ高精度に表現可能となった。
• 変換関数 y(τ) を変更するだけで、時間に依存するバリアに対しても自然に拡張可能であり、アルゴリズムの変更は不要である。