[論文レビュー] Semi-Infinite Wedges and Vertex Operators

Eugene Stern|ArXiv.org|Apr 21, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、無限個の評価モジュールのテンソル積内の $q$-反対称化手続きを用いて、量子アフィン代数 $U_q(\widehat{\frak{sl}}_n)$ のレベル1最高-weightモジュールを半無限楔積を用いて構成し、それらを実現する。この構成により、スカラー関数を除いて、頂点演算子およびその合成の明示的で単純な式が得られる。

ABSTRACT

The level 1 highest weight modules of the quantum affine algebra $U_q(\widehat{\frak{sl}}_n)$ can be described as spaces of certain semi-infinite wedges. Using a $q$-antisymmetrization procedure, these semi-infinite wedges can be realized inside an infinite tensor product of evaluation modules. This realization gives rise to simple descriptions of vertex operators and (up to a scalar function) their compositions.

研究の動機と目的

• 半無限楔積を用いて、$U_q(\widehat{\frak{sl}}_n)$ のレベル1最高-weightモジュールを幾何学的・代数的に構成すること。
• 半無限楔積を、$q$-反対称化手続きを用いて無限個の評価モジュールのテンソル積内の部分空間として実現すること。
• この枠組み内で頂点演算子およびその合成の明示的で単純な表現式を導出すること。
• スカラー関数を除いて演算子の積を体系的に計算する方法を確立し、表現論的計算を簡略化すること。

提案手法

• レベル1における $U_q(\widehat{\frak{sl}}_n)$ の最高-weightモジュールを記述するために、半無限楔形式を用いる。
• 半無限楔積を無限個の評価モジュールのテンソル積へ埋め込むために、$q$-反対称化手続きを適用する。
• このテンソル積実現内でのインターツインナーとして頂点演算子を構成する。
• $q$-反対称化構造を用いて、頂点演算子の閉じた表現式を導出する。
• 頂点演算子の合成が、この構成によりスカラー関数を除いて決定されることを示す。
• 量子アフィン代数の表現論および $U_q(\widehat{\frak{sl}}_n)$ 上の評価モジュールの構造に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$U_q(\widehat{\frak{sl}}_n)$ のレベル1最高-weightモジュールを半無限楔積を用いて実現できるか？
• RQ2 半無限楔積を無限個の評価モジュールのテンソル積へ埋め込む際に、$q$-反対称化の役割は何か？
• RQ3 この実現において、頂点演算子を明示的に記述できるか。また、その代数的構造は何か？
• RQ4 この枠組み内での頂点演算子の合成はどのように決定され、どのような簡略化が生じるか？
• RQ5 この構成における頂点演算子の合成において、スカラー関数の意味は何か？

主な発見

• レベル1最高-weightモジュール $U_q(\widehat{\frak{sl}}_n)$ は、$q$-反対称化を用いて無限個のテンソル積の部分空間として実現される。
• 頂点演算子は、無限個のテンソル積の枠組み内でのインターツインナーとして明示的に構成される。
• 頂点演算子の合成は、スカラー関数を除いて決定され、その代数的取り扱いが簡略化される。
• 半無限楔積形式は、これらのモジュールの自然で計算に適したモデルを提供する。
• $q$-反対称化手続きにより、量子アフィン代数の下での正しい変換性が保証される。
• この構成により、テンソル積構造に基づいて、頂点演算子およびその積の均一的かつ体系的な記述が得られる。