[論文レビュー] Semibounded representations and invariant cones in infinite dimensional Lie algebras

Karl‐Hermann Neeb|ArXiv.org|Nov 23, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 55被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リー代数における不変錐とモーメント写像を用いて、無限次元リー群の半有界ユニタリ表現の幾何学的・解析的枠組みを構築する。凸性、シンプレクティック幾何、複素解析を統合する理論を確立し、Virasoro代数および円周の微分同相群の非可約半有界表現が、正確にユニタリ最高重量表現およびその双対であることを証明する。

ABSTRACT

A unitary representation of a, possibly infinite dimensional, Lie group $G$ is called semi-bounded if the corresponding operators $i\ddπ(x)$ from the derived representations are uniformly bounded from above on some non-empty open subset of the Lie algebra $\g$. In the first part of the present paper we explain how this concept leads to a fruitful interaction between the areas of infinite dimensional convexity, Lie theory, symplectic geometry (momentum maps) and complex analysis. Here open invariant cones in Lie algebras play a central role and semibounded representations have interesting connections to $C^*$-algebras which are quite different from the classical use of the group $C^*$-algebra of a finite dimensional Lie group. The second half is devoted to a detailed discussion of semibounded representations of the diffeomorphism group of the circle, the Virasoro group, the metaplectic representation on the bosonic Fock space and the spin representation on fermionic Fock space.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト性や構造論の道具が利用できない無限次元リー群における半有界ユニタリ表現の一般理論を構築すること。
• ユニタリ表現の文脈において、凸解析、シンプレクティック幾何、複素幾何、および$C^*$-代数の概念を統合すること。
• Virasoro群および円周の微分同相群の非可約半有界表現を、幾何的・代数的不変量を用いて特徴付けること。
• ハミルトニアン作用と滑らかなベクトル空間を介して、半有界表現と$C^*$-動的系との関係を確立すること。
• メタプレクティック表現およびスピンFock表現が半有界であることを証明し、既知の結果を無限次元設定に拡張すること。

提案手法

• 半有界性の概念を用いる：リー代数$\mathfrak{g}$の空でない開部分集合上で、$i\text{d}\rho(x)$が一様に下から有界となるユニタリ表現。
• 導来表現のスペクトル性質を調べるため、$\mathfrak{g}'$における弱-*閉凸包を用いたモーメント写像とモーメント集合を適用する。
• 半有界表現の分類の中心的幾何的構造として、リー代数における不変錐を用いる。
• Banach–リー群の滑らかなベクトルへの作用に関する結果を応用し、$\mathcal{H}^\infty$の射影空間へのハミルトニアン作用を構成する。
• 定理5.7を用いて、ラインバンドルの正則切断の空間に表現を実現し、そのモーメント集合を計算する。
• ${\mathcal{V}(\mathbb{S}^1)}$および$\mathfrak{vir}$の随伴的および共随伴的軌道を分析し、非可約半有界表現が最高重量表現およびその双対に正確に一致することを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクト性や構造論が欠落する無限次元リー群において、半有界表現を体系的にどのように研究できるか？
• RQ2 不変錐は、無限次元リー代数の半有界表現の分類において果たす役割は何か？
• RQ3 モーメント写像とモーメント集合は、この文脈における導来表現のスペクトル性質をどのように特徴付けるか？
• RQ4 ボソン的およびフェルミオン的Fock空間上のメタプレクティック表現およびスピン表現が半有界であることを示せるか？
• RQ5 Virasoro代数および$\mathrm{Diff}_+(\mathbb{S}^1)$の非可約半有界表現は、正確にユニタリ最高重量表現およびその双対であるか？

主な発見

• ボソン的Fock空間上のメタプレクティック表現およびフェルミオン的Fock空間上のスピン表現は、無限次元設定において以前未確認であったが、半有界である。
• $\mathcal{V}(\mathbb{S}^1)$および$\mathfrak{vir}$の随伴的および共随伴的軌道の解析により、非可約半有界表現がユニタリ最高重量表現およびその双対に正確に同定される。
• 半有界表現のモーメント集合は、$\mathfrak{g}'$の弱-*閉凸部分集合であり、その構造は不変錐の幾何に深く関係している。
• Banach–リー群の$\mathcal{H}^\infty$への作用の滑らかさのおかげで、$\mathbb{P}(\mathcal{H}^\infty)$へのハミルトニアン作用が構成可能となり、モーメント写像理論にとって不可欠である。
• 定理7.4は、スペクトル条件を満たす$C^*$-動的系と、半直積群$\mathrm{U}(\mathcal{A}^\infty) \rtimes H$の半有界表現との間に接続を確立し、$C^*$-代数的道具をこの文脈に拡張する。
• 本理論は、ラインバンドルの正則切断による半有界表現の幾何的実現を提供し、この構成の主要技術的ツールとして定理5.7が機能する。