[論文レビュー] Semibounded representations of hermitian Lie groups

Karl‐Hermann Neeb|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 34被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト対称空間の自己同型群の中心拡大として生じる無限次元のエルミートリー群の、非可約で半有界なユニタリ表現を分類する。滑らかなベクトルのスペクトル理論と余随伴軌道の凸性を用いて、このような表現が最大コンpact部分群の有界表現からの正則誘導であることを示し、3つのタイプに完全分類する：対称ヒルベルト領域、それらの双対（例えば、制限付きグラスマン多様体）、平坦空間の運動群。

ABSTRACT

A unitary representation of a, possibly infinite dimensional, Lie group $G$ is called semibounded if the corresponding operators $i\ddπ(x)$ from the derived representation are uniformly bounded from above on some non-empty open subset of the Lie algebra $\g$ of $G$. A hermitian Lie group is a central extension of the identity component of the automorphism group of a hermitian Hilbert symmetric space. In the present paper we classify the irreducible semibounded unitary representations of hermitian Lie groups corresponding to infinite dimensional irreducible symmetric spaces. These groups come in three essentially different types: those corresponding to negatively curved spaces (the symmetric Hilbert domains), the unitary groups acting on the duals of Hilbert domains, such as the restricted Graßmannian, and the motion groups of flat spaces.

研究の動機と目的

• 無限次元のエルミートリー群の非可約で半有界なユニタリ表現を分類すること。
• 有限次元における最高重量表現の理論を無限次元設定に拡張すること。
• 半有界表現における余随伴軌道の不変錐と凸性の役割を理解すること。
• 制限付きユニタリ群の中心拡大が、全ユニタリ群に拡張可能な表現を超えて新しい半有界表現を生じるかどうかを特定すること。

提案手法

• 半有界性を定義するために、表現の導来 $\mathrm{d}\pi$ とスペクトル上界写像 $s_\pi(x) = \sup \mathrm{Spec}(i\mathrm{d}\pi(x))$ を用いる。
• 滑らかなベクトルのなすフレシェ空間 $\mathcal{H}^\infty$ におけるスペクトル理論を適用し、導来表現から情報を抽出する。
• $JH^*$-三重系の構造とカウプによるヒルベルト対称空間の分類を用いて、リー代数を分析する。
• 最大コンパクト部分群 $K = (G^\theta)_0$ の有界表現からの正則誘導を用いて、半有界表現を構成する。
• 中心拡大が新しい表現を生じるかどうかを特定するため、$H^2_c(\mathfrak{g}, \mathbb{R})$ のコホモロジー類を分析する。
• シュテンノフノルムとバナッハ代数 $B_{p/2,p}(\mathcal{H})$ の結果を用いて、部分群 $\mathrm{U}_{p/2,p}(\mathcal{H})$ を定義し、その表現論を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの非可約ユニタリ表現がエルミートリー群に対して半有界であり、どのように分類できるか？
• RQ2 制限付きユニタリ群 $\mathrm{U}_{p/2}^{\rm res}(\mathcal{H})$ の中心拡大が、$\mathrm{U}(\mathcal{H})$ に拡張可能な表現を超えて新しい半有界表現を生じるか？
• RQ3 $p > 4$ の場合、$\mathrm{U}_{p/2}^{\rm res}(\mathcal{H}_\pm)$ の有界表現が中心に非自明に作用するか、それともすべて $\mathrm{U}(\mathcal{H}_\pm)$ に拡張可能か？
• RQ4 $\mathfrak{k}/\mathfrak{z}(\mathfrak{k})$ に開いた不変錐が存在する場合、半有界表現の存在と構造にどのような影響を与えるか？
• RQ5 $p=2$ の場合、なぜ $\mathrm{U}_{1}^{\rm res}(\mathcal{H}_\pm)$ の有界表現論は型 I でないのか、そしてこれは半有界表現にどのような影響を与えるか？

主な発見

• エルミートリー群の非可約で半有界な表現は、最大コンパクト部分群 $K = (G^\theta)_0$ の有界表現からの正則誘導である。特に、$\mathfrak{k}/\mathfrak{z}(\mathfrak{k})$ に開いた不変錐を含まない場合に顕著である。
• $p > 4$ の場合、$\mathrm{U}_{p/2}^{\rm res}(\mathcal{H}_\pm)$ の中心拡大のすべての有界表現は中心上で自明であるため、$\mathrm{U}(\mathcal{H})$ に拡張可能な表現を超えて新しい半有界表現は生じない。
• $2 < p \leq 4$ の場合、非自明な中心作用を持つ非自明な中心拡大の存在は未解決の問題であるが、そのような表現は期待されていない。
• $\mathrm{U}_{\rm res,p}(\mathcal{H})$ には非有界な半有界な非可約ユニタリ表現が存在せず、$\mathcal{H}$ が可分な場合、すべての可分表現は $\mathrm{U}(\mathcal{H})$ に拡張可能である。
• $p=2$ の場合、$\mathrm{U}_1^{\rm res}(\mathcal{H}_\pm)$ の有界表現論は型 I でないため、半有界表現の構造はより豊かで複雑である。
• 分類は3つのタイプにわたる：対称ヒルベルト領域（負に曲がった空間）、それらの双対（例えば、制限付きグラスマン多様体、正に曲がった空間）、平坦空間の運動群。