[論文レビュー] Semiclassical states for Choquard type equations with critical growth: critical frequency case

Yanheng Ding, Fashun Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、領域で消えるポテンシャルを有する臨界成長および臨界周波数を有するチョクバルド型方程式に対する半古典的状態の存在および多重性を確立する。山脈補題および二重臨界指数に対するジャンル理論、非局所方程式のための新規なグローバルコンパクトネス補題を用いたルステニク＝シュナイレルマン理論を用いて、臨界周波数の場合に高エネルギー半古典的状態の存在を証明し、非局所シュレーディンガー方程式における臨界成長に関する長年の課題を解決する。

ABSTRACT

In this paper we are interested in the existence of semiclassical states for the Choquard type equation $$ -\vr^2Δu +V(x)u =\Big(\int_{\R^N} \frac{G(u(y))}{|x-y|^μ}dy\Big)g(u) \quad \mbox{in $\R^N$}, $$ where $0

研究の動機と目的

• ポテンシャル $ V(x) $ が空でない集合で消える状況下での臨界周波数条件下におけるチョクバルド型方程式に対する半古典的状態の存在を確立すること。
• 非局所相互作用を伴う臨界成長問題におけるコンパクトネスの欠如を克服するため、非局所チョクバルド作用素のためのグローバルコンパクトネス補題を構築すること。
• 低次の摂動が存在しない状況下で、ルステニク＝シュナイレルマンカテゴリー理論を用いて高エネルギー半古典的状態の多重性を証明すること。
• ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式に由来する臨界非線形性を有する非局所方程式に変分法を拡張すること。

提案手法

• リーズ核非線形性を含むチョクバルド型方程式に関連するエネルギー汎関数を用いて、$ H^1(Ω) $ における変分方程式として問題を定式化する。
• 二重臨界指数を有する場合の解の存在および多重性を証明するために、山脈補題およびジャンル理論を適用する。
• 消えるポテンシャルおよびコンパクトネスの欠如に対処するために、非局所チョクバルド方程式のための新しいグローバルコンパクトネス補題を確立する。
• 低次の摂動が存在しない状況下で、ルステニク＝シュナイレルマンカテゴリー理論を用いて複数の高エネルギー半古典的状態の存在を証明する。
• スケーリング技術および濃縮-コンパクトネスの議論を用いて、$ \varepsilon \to 0 $ における漸近的挙動を分析し、臨界周波数の場合に焦点を当てる。
• 非局所項を制御し、臨界成長条件を正当化するために、鋭いハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャルが領域で消える場合（臨界周波数の場合）に、臨界成長を有するチョクバルド方程式に対して半古典的解が存在するか？
• RQ2 臨界成長および消えるポテンシャルに起因するコンパクトネスの欠如を克服し、複数の解の存在を証明できるか？
• RQ3 低次の摂動が存在しない状況下で、高エネルギー半古典的状態の多重性はいかほどか？
• RQ4 臨界非線形性を有する非局所チョクバルド方程式に対して、グローバルコンパクトネス補題を確立できるか？

主な発見

• 本稿は、山脈補題およびジャンル理論を用いて、二重臨界指数を有するチョクバルド方程式に対して少なくとも一つの半古典的状態の存在を証明する。
• ジャンル理論を用いて複数の半古典的状態の存在を確立し、解の数がポテンシャルが消える集合のカテゴリーによって下から抑えられることを示す。
• 非局所チョクバルド方程式のための新規なグローバルコンパクトネス補題が証明され、臨界周波数設定におけるコンパクトネスの欠如を克服するために不可欠である。
• ルステニク＝シュナイレルマン理論を用いて、低次の摂動が存在しない状況下で複数の高エネルギー半古典的状態の存在を証明する。
• 臨界周波数の場合を完全に分析した：解の濃縮点は集合 $ M = \{x \in \mathbb{R}^N : V(x) = 0\} $ に収束し、エネルギー準位はハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式における最良定数を含む鋭い定数によって下から抑えられる。
• エネルギー汎関数が特定のエネルギー範囲で (PS) 条件を満たすことが示され、カテゴリー論的アプローチによる多重性の証明に応用可能である。