[論文レビュー] Semiclassical wave functions in billiards built on classical trajectories. Energy quantization, scars and periodic orbits

Stefan Giller, Janiak, Jarosław|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2011

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、バニッシュ・スタジアムのようなカオス的系においても適用可能な、古典的軌道に基づく半古典的波動関数（SWF）の構築手法を提案する。本手法は、位相空間変換の代わりに複素時間への解析接続を用いて包絡線特異点を扱う。このアプローチにより、アーノルドトーラスの一般化としての「バンドルスケルトン」（光線束の可逆的で連結されたネットワーク）を導入し、カオス的系におけるSWFの構築とエネルギー準位の計算を可能にする。円形・長方形のビリヤードへの応用に成功し、量子スカーモデルの解明に向けた枠組みを提供する。

ABSTRACT

A way of construction of semiclassical wave function (SWF) based on the Maslov - Fedoriuk approach is proposed which appears to be appropriate also for systems with chaotic classical limits. Some classical constructions called skeletons are considered. The skeletons are generalizations of Arnolds' tori able to gather chaotic dynamics. SWF's are continued by caustic singularities in the configuration space rather then in the phase space using complex time method. The skeleton formulation provides us with a new algorithm for the semiclassical approximation method which is applied to construct SWF's as well as to calculate energy spectra for the circular and rectangular billiards as well as to construct the simplest SWF's and the respective spectrum for the Bunimovich stadium. The scar phenomena are considered and a possibility of their description by the skeleton method is discussed. PACS number(s): 03.65.-w, 03.65.Sq, 02.30.Jr, 02.30.Lt, 02.30.Mv Key Words: Schrödinger equation, semiclassical expansion, Lagrange manifolds, classical trajectories, chaotic dynamics, quantum chaos, scars

研究の動機と目的

• 従来の手法が失敗する非可積分的・カオス的ビリヤードに適用可能な半古典的波動関数形式を構築すること。
• マスロフ＝フェドリウク理論が包絡線特異点を扱う際に抱える制限を、複素時間への解析接続によって克服すること。
• 可逆的で連結された光線束の集合である「バンドルスケルトン」に、アーノルドトーラスを一般化し、カオス的系における波動関数の一致を可能にすること。
• 可積分的およびカオス的ビリヤードの両方において、グローバルなSWFの構築とエネルギー準位の計算を統一的に可能にする手法を提供すること。
• 古典的軌道構造に基づく理論的枠組みを提供し、カオス的系における量子スカーモデルを解明すること。

提案手法

• マスロフ＝フェドリウクの手法を採用するが、正準変換の代わりに複素時間への解析接続を用いて包絡線を越えて波動関数を伝搬する。
• 古典的軌道を時間発展する対象として扱い、境界条件がゼロとなる光線束上に局所的にSWFを構築する。
• グローバルなSWFは、可逆的で連結された光線束のネットワークである「バンドルスケルトン」を用いて、局所解を一致させることで構築する。カオス的系におけるアーノルドトーラスの代替として機能する。
• ラプラス＝ベルトラミ作用素を光線に沿った距離dと弧長sの関数として表現し、波動方程式の簡略化を図るための共形変換を導入する。
• 包絡線特異点は複素時間への解析接続によって取り扱い、フーリエ変換を避けて一致プロセスを簡素化する。
• 本手法は円形・長方形・バニッシュ・スタジアムビリヤードに適用され、波動関数およびエネルギー準位の明示的計算が行われた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的力学に不変トーラスが存在しないカオス的系において、半古典的波動関数形式を拡張することは可能か？
• RQ2 位相空間正準変換を用いずに、波動関数の包絡線特異点をどのように扱えるか？
• RQ3 「バンドルスケルトン」としての一般化された古典的構造が、カオス的系における半古典的波動関数の支持としてアーノルドトーラスに代わって機能可能か？
• RQ4 本スケルトンに基づく半古典的枠組みを用いて、量子ビリヤードにおけるスカーモデルをどの程度まで説明できるか？
• RQ5 複素時間への解析接続は、グローバルな半古典的波動関数の構築をどの程度簡素化するか？

主な発見

• 複素時間への解析接続法により、波動関数の包絡線特異点が効果的に取り扱われ、従来の位相空間手法に比べて一致プロセスが簡素化された。
• バンドルスケルトンの概念により、古典的力学が非可積分であっても、有限で可逆的な光線束ネットワークを提供し、カオス的系におけるグローバル波動関数の構築が可能になった。
• 円形および長方形ビリヤードにおいて、エネルギー準位が正確に再現され、既知の量子結果と整合することが確認された。
• バニッシュ・スタジアムにおいて、本手法は初めての単純な半古典的波動関数とその対応するエネルギー準位を構築し、カオス的系への適用可能性を示した。
• 本フレームワークにより、スケルトン構造内の安定な周期的軌道とその関連光線束と結びつけて、量子スカーモデルを新たな道筋で分析できるようになった。
• d-s座標におけるラプラス＝ベルトラミ作用素の明示的表現が導出され、共形変換により波動方程式の数値的・解析的取り扱いが簡略化された。